Коэффициент асимметрии Боули — Юла

Коэффициент асимметрии Боули — Юла — это статистический показатель, характеризующий степень асимметрии (скошенности) распределения случайной величины. Он относится к группе простых мер асимметрии, основанных на квартилях, и был предложен английскими статистиками Артуром Лайоном Боули (1869—1957) и Джорджем Удни Юлом (1871—1951). Коэффициент позволяет оценить, насколько симметрично распределение данных относительно центрального значения, и является альтернативой более сложным моментным коэффициентам асимметрии (например, коэффициенту Пирсона).

Определение и формула

Коэффициент асимметрии Боули — Юла (обозначается как \( S_{BY} \) или \( Sk_{BY} \)) вычисляется на основе квартилей распределения. Квартили делят упорядоченный набор данных на четыре равные части: первый квартиль (\( Q_1 \)) отделяет нижние 25% данных, медиана (\( Q_2 \)) — 50%, третий квартиль (\( Q_3 \)) — 75%. Формула имеет вид:

\[ S_{BY} = \frac{(Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1)}{Q_3 - Q_1} = \frac{Q_3 + Q_1 - 2Q_2}{Q_3 - Q_1} \]

где:

• \( Q_1 \) — первый квартиль (25-й перцентиль);
• \( Q_2 \) — медиана (50-й перцентиль);
• \( Q_3 \) — третий квартиль (75-й перцентиль);
• \( Q_3 - Q_1 \) — межквартильный размах (IQR, интерквартильный диапазон).

Знаменатель формулы представляет собой межквартильный размах, который служит мерой разброса данных. Числитель — разность между расстоянием от медианы до третьего квартиля и расстоянием от первого квартиля до медианы. Таким образом, коэффициент нормирован на интервал от -1 до +1, что делает его удобным для сравнения распределений с разными шкалами.

Интерпретация значений

Значение коэффициента Боули — Юла указывает на характер асимметрии распределения:

• \( S_{BY} = 0 \) — распределение симметрично. В этом случае медиана равноудалена от первого и третьего квартилей (\( Q_3 - Q_2 = Q_2 - Q_1 \)). Пример — нормальное распределение (при достаточном объёме выборки).
• \( S_{BY} > 0 \) — положительная (правосторонняя) асимметрия. Правая часть распределения (выше медианы) более вытянута, чем левая. Хвост распределения длиннее справа, а большинство данных сосредоточено слева от медианы. Типичный пример — распределение доходов населения, где небольшое количество людей имеет очень высокие доходы.
• \( S_{BY} < 0 \) — отрицательная (левосторонняя) асимметрия. Левая часть распределения более вытянута, хвост длиннее слева, основная масса данных смещена вправо. Например, распределение возраста смерти при некоторых заболеваниях может иметь левостороннюю асимметрию.

Чем ближе абсолютное значение коэффициента к 1, тем сильнее выражена асимметрия. При \( |S_{BY}| = 1 \) асимметрия достигает максимальной степени (например, когда один из квартилей совпадает с медианой).

Свойства и ограничения

Преимущества

• Устойчивость к выбросам: в отличие от моментных коэффициентов асимметрии (например, третьего стандартизированного момента), коэффициент Боули — Юла основан на квартилях, которые малочувствительны к экстремальным значениям. Это делает его предпочтительным для анализа распределений с аномальными наблюдениями или для малых выборок.
• Простота вычисления: для расчёта требуются только три квартиля, что легко реализуется даже без использования сложного программного обеспечения.
• Интерпретируемость: значения нормированы на отрезок [-1, 1], что упрощает сравнение различных распределений.

Недостатки

• Низкая чувствительность: коэффициент не учитывает форму распределения за пределами квартильных точек. Два разных распределения с одинаковыми квартилями могут иметь одинаковый коэффициент, даже если их «хвосты» различаются.
• Зависимость от выбора квартилей: использование других перцентилей (например, децилей) может дать иные результаты. Коэффициент Боули — Юла является частным случаем более общего класса квартильных мер асимметрии.
• Неприменимость для многомодальных распределений: если распределение имеет несколько пиков (мод), квартили могут неадекватно отражать его структуру.

Сравнение с другими мерами асимметрии

В статистике существует несколько показателей асимметрии, наиболее известный из которых — коэффициент асимметрии Пирсона (моментный), вычисляемый как \( \mu_3 / \sigma^3 \), где \( \mu_3 \) — третий центральный момент, \( \sigma \) — стандартное отклонение. В отличие от него:

• Коэффициент Пирсона более чувствителен к форме распределения, но менее устойчив к выбросам.
• Коэффициент Боули — Юла не требует вычисления моментов и подходит для порядковых данных, где невозможно рассчитать среднее арифметическое.
• Для нормального распределения оба коэффициента равны нулю, но для распределений с тяжёлыми хвостами (например, распределение Коши) коэффициент Боули — Юла может быть более надёжным.

Также существует коэффициент асимметрии Хинсли—Фане, основанный на децилях, и медианный коэффициент асимметрии (\( (Q_3 + Q_1 - 2Q_2) / (Q_3 - Q_1) \)), который по сути идентичен формуле Боули — Юла, хотя иногда приписывается разным авторам.

Применение

Коэффициент асимметрии Боули — Юла широко используется в:

• Эконометрике и экономике: для анализа распределения доходов, цен, ВВП на душу населения. Например, при изучении неравенства доходов положительная асимметрия указывает на концентрацию богатства у верхней части населения.
• Медицине и биологии: при анализе распределения физиологических показателей (давление, уровень сахара в крови), времени наступления событий (выздоровление, рецидив).
• Социологии: для оценки распределения возраста, уровня образования, социального статуса.
• Контроле качества: для анализа распределения отклонений параметров продукции от номинала.
• Геологии и экологии: при изучении распределения размеров частиц, концентрации загрязнителей.

Пример расчёта

Рассмотрим набор данных: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Упорядочим значения:

• Первый квартиль \( Q_1 \) (25-й перцентиль) = 3.25 (среднее между 3 и 4);
• Медиана \( Q_2 \) = 5.5;
• Третий квартиль \( Q_3 \) = 7.75.

Подставляем в формулу: \[ S_{BY} = \frac{7.75 + 3.25 - 2 \times 5.5}{7.75 - 3.25} = \frac{11 - 11}{4.5} = 0 \] Распределение симметрично. Если же взять данные [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100] (с выбросом 100):

• \( Q_1 = 3.25 \), \( Q_2 = 5.5 \), \( Q_3 = 7.75 \) (квартили не изменились, так как выброс не влияет на них), коэффициент остаётся 0, что демонстрирует устойчивость к выбросам, но и нечувствительность к изменению хвоста.

История

Коэффициент был впервые описан в работах Артура Боули, который в начале XX века занимался вопросами статистического анализа распределений, в частности, в книге «Элементы статистики» (1901). Джордж Удл Юл, известный своими трудами по корреляционному анализу и теории временных рядов, также внёс вклад в развитие квартильных мер. Название «коэффициент Боули — Юла» закрепилось в статистической литературе, хотя иногда его называют просто «квартильным коэффициентом асимметрии».

Источники

1. Bowley, A. L. (1901). Elements of Statistics. London: P. S. King & Son.
2. Yule, G. U., & Kendall, M. G. (1950). An Introduction to the Theory of Statistics. London: Charles Griffin & Company.
3. Kendall, M. G., & Stuart, A. (1977). The Advanced Theory of Statistics, Vol. 1. London: Charles Griffin.
4. Хинсли, Д. (2006). Статистические методы в географии. М.: Прогресс.