Третий центральный момент

Третий центральный момент — это числовая характеристика формы распределения случайной величины, определяющая степень асимметрии (скошенности) распределения относительно его математического ожидания. В теории вероятностей и математической статистике третий центральный момент является одним из ключевых показателей, наряду с дисперсией (второй центральный момент) и эксцессом (четвёртый центральный момент). Он используется для оценки того, насколько распределение отклоняется от симметричного (например, от нормального распределения) и в какую сторону направлена асимметрия.

Определение и математическая запись

Пусть \(X\) — случайная величина с математическим ожиданием \(\mu = \mathbb{E}[X]\). Тогда третий центральный момент \(\mu_3\) определяется как математическое ожидание куба отклонения случайной величины от её среднего значения:

\[ \mu_3 = \mathbb{E}\left[(X - \mu)^3\right]. \]

Для дискретной случайной величины с возможными значениями \(x_i\) и вероятностями \(p_i\) третий центральный момент вычисляется по формуле:

\[ \mu_3 = \sum_{i} (x_i - \mu)^3 p_i. \]

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения \(f(x)\):

\[ \mu_3 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^3 f(x) \, dx. \]

В случае выборочных данных (статистика) третий центральный момент оценивается по выборке объёмом \(n\) как:

\[ \hat{\mu}_3 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^3, \]

где \(\bar{x}\) — выборочное среднее. Однако для несмещённой оценки часто используется множитель \(\frac{n}{(n-1)(n-2)}\).

Свойства

Третий центральный момент обладает рядом свойств, вытекающих из его определения:

• Размерность: размерность \(\mu_3\) равна кубу размерности случайной величины (например, если \(X\) измеряется в метрах, то \(\mu_3\) — в кубических метрах).
• Знак: знак \(\mu_3\) указывает на направление асимметрии:
• \(\mu_3 > 0\) — положительная (правосторонняя) асимметрия: «хвост» распределения вытянут вправо, мода смещена влево относительно среднего.
• \(\mu_3 < 0\) — отрицательная (левосторонняя) асимметрия: «хвост» вытянут влево, мода смещена вправо.
• \(\mu_3 = 0\) — распределение симметрично (например, нормальное распределение, распределение Коши).
• Инвариантность к сдвигу: при добавлении константы \(c\) к случайной величине третий центральный момент не меняется: \(\mu_3(X + c) = \mu_3(X)\).
• Масштабирование: при умножении случайной величины на константу \(k\) третий центральный момент умножается на \(k^3\): \(\mu_3(kX) = k^3 \mu_3(X)\).

Связь с асимметрией

Для практического использования третий центральный момент часто нормируют, чтобы получить безразмерный коэффициент асимметрии (скошенности) \(\gamma_1\):

\[ \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}, \]

где \(\sigma = \sqrt{\mu_2}\) — стандартное отклонение (квадратный корень из второго центрального момента). Коэффициент \(\gamma_1\) позволяет сравнивать асимметрию распределений, измеренных в разных единицах. Значение \(\gamma_1\) интерпретируется аналогично знаку \(\mu_3\):

• \(\gamma_1 > 0\) — правосторонняя асимметрия,
• \(\gamma_1 < 0\) — левосторонняя,
• \(\gamma_1 = 0\) — симметрия.

Для нормального распределения \(\gamma_1 = 0\). Для экспоненциального распределения \(\gamma_1 = 2\) (положительная асимметрия). Для распределения хи-квадрат с малым числом степеней свободы \(\gamma_1\) положителен и убывает с ростом числа степеней свободы.

Примеры

1. Симметричное распределение (нормальное)

Для стандартного нормального распределения \(N(0,1)\) все нечётные центральные моменты равны нулю, в том числе \(\mu_3 = 0\). Это отражает симметрию колоколообразной кривой.

2. Положительная асимметрия (экспоненциальное)

Экспоненциальное распределение с параметром \(\lambda\) имеет математическое ожидание \(\mu = 1/\lambda\) и третий центральный момент \(\mu_3 = 2/\lambda^3\). Коэффициент асимметрии \(\gamma_1 = 2\). Это означает, что «хвост» распределения уходит вправо, а большая часть вероятности сосредоточена слева.

3. Отрицательная асимметрия (распределение Вейбулла)

Для распределения Вейбулла с параметром формы \(k < 1\) третий центральный момент отрицателен. Например, при \(k = 0.5\) распределение имеет длинный левый хвост, что соответствует отрицательной асимметрии.

Применение

Третий центральный момент и коэффициент асимметрии широко используются в различных областях:

• Статистический анализ: проверка гипотез о форме распределения, идентификация выбросов, выбор методов параметрической статистики (например, для распределений с сильной асимметрией могут применяться преобразования, такие как логарифмирование).
• Финансовая математика: оценка рисков инвестиционных портфелей. Асимметрия доходности активов учитывается в моделях управления капиталом (например, в модели CAPM с поправкой на скошенность).
• Обработка сигналов и изображений: третий центральный момент используется как признак для классификации текстур, анализа гистограмм яркости.
• Гидрология и метеорология: анализ распределения осадков, уровней рек — часто распределения имеют положительную асимметрию.
• Контроль качества: в промышленности асимметрия распределения параметров продукции может указывать на систематические отклонения в технологическом процессе.

Ограничения и критика

• Чувствительность к выбросам: третий центральный момент, как и другие моменты высоких порядков, сильно зависит от крайних значений выборки. Один выброс может существенно исказить оценку \(\mu_3\).
• Неединственность: нулевой третий центральный момент не гарантирует симметрию распределения — существуют асимметричные распределения с \(\mu_3 = 0\) (например, некоторые смеси распределений).
• Сложность интерпретации: для малых выборок оценка \(\mu_3\) может быть ненадёжной, а её знак — случайным.

Связанные понятия

• Моменты распределения: начальные, центральные, абсолютные.
• Второй центральный момент: дисперсия.
• Четвёртый центральный момент: используется для вычисления эксцесса.
• Коэффициент асимметрии: нормированная версия третьего центрального момента.
• Кумулянты: третий кумулянт совпадает с третьим центральным моментом.

Источники

• Кендалл М., Стюарт А. «Теория распределений». — М.: Наука, 1966.
• Крамер Г. «Математические методы статистики». — М.: Мир, 1975.
• Боровков А. А. «Теория вероятностей». — М.: Наука, 1986.
• ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения».