Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Пирсона (также известный как моментный коэффициент асимметрии, первый коэффициент асимметрии) — это статистический показатель, характеризующий степень скошенности (асимметрии) распределения случайной величины относительно её среднего значения. Он используется для оценки формы распределения, в частности, для определения того, является ли распределение симметричным, или же его «хвост» смещён влево или вправо. Коэффициент был предложен английским математиком и биологом Карлом Пирсоном в конце XIX века.

Определение и формула

Коэффициент асимметрии Пирсона вычисляется на основе центрального момента третьего порядка. В генеральной совокупности для случайной величины \( X \) с математическим ожиданием \( \mu \) и стандартным отклонением \( \sigma \) коэффициент асимметрии \( \gamma_1 \) определяется как:

\[ \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\mathbb{E}[(X - \mu)^3]}{\sigma^3} \]

где \( \mu_3 = \mathbb{E}[(X - \mu)^3] \) — третий центральный момент, а \( \sigma^3 \) — куб среднеквадратического отклонения.

Для выборки объёмом \( n \) выборочный коэффициент асимметрии \( g_1 \) вычисляется по формуле:

\[ g_1 = \frac{m_3}{s^3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^3}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \right)^{3/2}} \]

где \( \bar{x} \) — выборочное среднее, \( s \) — выборочное стандартное отклонение (смещённое или несмещённое, в зависимости от используемой оценки). Для несмещённой оценки дисперсии часто применяют поправочный коэффициент, особенно при малых выборках, однако в большинстве статистических пакетов используется смещённая оценка, так как она проще и асимптотически несмещена.

Интерпретация значений

Значение коэффициента асимметрии может быть положительным, отрицательным или равным нулю, что указывает на форму распределения:

• Нулевое значение (γ₁ = 0) — распределение симметрично относительно среднего. Классический пример — нормальное распределение, для которого асимметрия строго равна нулю. Однако нулевая асимметрия не гарантирует симметричность: существуют асимметричные распределения с нулевым третьим моментом.
• Положительная асимметрия (γ₁ > 0) — распределение имеет длинный «хвост» вправо (правосторонняя асимметрия). В таком распределении большинство значений сосредоточено слева от среднего, а среднее арифметическое больше медианы и моды. Примеры: распределение доходов (большинство людей имеют доход ниже среднего, а небольшое число — очень высокий), распределение Пуассона с малым параметром.
• Отрицательная асимметрия (γ₁ < 0) — распределение имеет длинный «хвост» влево (левосторонняя асимметрия). Большинство значений сосредоточено справа от среднего, среднее меньше медианы и моды. Примеры: распределение возраста на момент смерти (большинство людей умирает в пожилом возрасте, но есть небольшое число ранних смертей), распределение времени выполнения задач, где большинство укладывается в срок, а некоторые сильно задерживаются.

Шкала оценки асимметрии

В практической статистике для оценки степени асимметрии часто используют эмпирические пороги:

• \( |\gamma_1| < 0.5 \) — асимметрия незначительная, распределение можно считать приблизительно симметричным.
• \( 0.5 \le |\gamma_1| < 1 \) — умеренная асимметрия.
• \( |\gamma_1| \ge 1 \) — сильная асимметрия, распределение существенно отличается от симметричного.

Связь с другими показателями формы

Коэффициент асимметрии Пирсона является одним из ключевых показателей формы распределения наряду с эксцессом (коэффициентом островершинности). Вместе они образуют систему моментов, описывающую отклонение распределения от нормального. Для нормального распределения асимметрия равна 0, эксцесс — 3 (или 0, если используется избыточный эксцесс).

Существуют также альтернативные меры асимметрии, например, коэффициент асимметрии Пирсона на основе медианы и моды (второй коэффициент Пирсона), который вычисляется как:

\[ \text{Sk}_2 = \frac{3(\bar{x} - \text{Me})}{s} \]

где \( \text{Me} \) — медиана. Этот коэффициент также принимает значения от -3 до 3 и интерпретируется аналогично, но менее чувствителен к выбросам, чем моментный коэффициент.

Ограничения и критика

• Чувствительность к выбросам: Третий момент возводит отклонения в куб, поэтому даже одно экстремальное значение может сильно исказить оценку асимметрии, особенно на малых выборках.
• Неопределённость при малых выборках: Для выборок объёмом менее 30–50 наблюдений выборочный коэффициент асимметрии имеет большую дисперсию и не является надёжной оценкой. Для проверки значимости асимметрии разработаны специальные тесты (например, тест Д'Агостино).
• Не единственная мера: Нулевая асимметрия не гарантирует симметрию распределения — существуют распределения, у которых все нечётные центральные моменты равны нулю, но форма несимметрична (например, распределение, представляющее собой смесь двух симметричных распределений с разными центрами).

Применение

Коэффициент асимметрии широко используется в различных областях:

• Финансовая математика: для оценки доходности активов — положительная асимметрия означает, что вероятность больших прибылей выше, чем больших убытков, что привлекательно для инвесторов.
• Эконометрика: при анализе регрессионных остатков — асимметрия остатков может указывать на неправильную спецификацию модели или наличие выбросов.
• Биология и медицина: при анализе распределения физиологических показателей (например, артериального давления, уровня холестерина) — многие из них имеют правостороннюю асимметрию.
• Контроль качества: для оценки формы распределения параметров продукции — асимметрия может указывать на систематические отклонения в технологическом процессе.

Примеры

1. Нормальное распределение: \( \gamma_1 = 0 \). График симметричен относительно среднего.
2. Экспоненциальное распределение: \( \gamma_1 = 2 \). Сильная положительная асимметрия — большинство значений близко к нулю, но есть длинный правый хвост.
3. Распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы: \( \gamma_1 = \sqrt{8} \approx 2.83 \). Очень сильная положительная асимметрия.
4. Распределение Пуассона с параметром \( \lambda = 1 \): \( \gamma_1 = 1/\sqrt{\lambda} = 1 \). Умеренная положительная асимметрия.

Вычисление в статистических пакетах

В большинстве современных статистических программ (R, Python с библиотекой SciPy, SPSS, Stata) коэффициент асимметрии вычисляется встроенными функциями. Например, в Python с использованием библиотеки SciPy:

``python from scipy.stats import skew data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100] print(skew(data)) # Вывод: положительное значение, указывающее на правостороннюю асимметрию ``

Важно учитывать, что разные программы могут использовать разные поправки на смещение (например, корректировку для малых выборок), поэтому результаты могут незначительно различаться.

Источники

1. Пирсон К. (1895). «Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material». Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, 343–414.
2. Кендалл М., Стюарт А. (1976). «Теория распределений». — М.: Наука.
3. Д'Агостино Р. Б., Стивенс М. А. (1986). «Goodness-of-Fit Techniques». Marcel Dekker.
4. Joanes D. N., Gill C. A. (1998). «Comparing measures of sample skewness and kurtosis». Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 47(1), 183–189.
5. Ван дер Варден Б. Л. (1960). «Математическая статистика». — М.: Иностранная литература.