Кокасательное пространство

Касательное пространство — это векторное пространство, которое строится в каждой точке гладкого многообразия и состоит из векторов, касательных к кривым, проходящим через эту точку. Касательное пространство является фундаментальным понятием дифференциальной геометрии и топологии, позволяя перенести методы математического анализа (дифференцирование, интегрирование) на искривлённые пространства произвольной размерности. Формально, для точки \( p \) на гладком многообразии \( M \) размерности \( n \), касательное пространство \( T_pM \) является \( n \)-мерным вещественным векторным пространством. Совокупность всех касательных пространств во всех точках многообразия образует касательное расслоение.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений касательного пространства, наиболее распространённые из которых — через классы эквивалентности гладких кривых и через дифференцирования (производные в точке).

Через кривые

Пусть \( M \) — гладкое многообразие, \( p \in M \). Рассмотрим множество всех гладких кривых \( \gamma: (-\varepsilon, \varepsilon) \to M \) таких, что \( \gamma(0) = p \). Две кривые \( \gamma_1 \) и \( \gamma_2 \) называются эквивалентными, если в некоторой карте \( (U, \varphi) \) с \( p \in U \) их производные в нуле совпадают: \( (\varphi \circ \gamma_1)'(0) = (\varphi \circ \gamma_2)'(0) \). Касательным вектором к многообразию \( M \) в точке \( p \) называется класс эквивалентности таких кривых. Касательное пространство \( T_pM \) — это множество всех таких классов, снабжённое структурой векторного пространства. Размерность \( T_pM \) равна размерности многообразия \( n \).

Через дифференцирования

Второе определение, более алгебраическое, использует понятие дифференцирования. Пусть \( C^\infty(p) \) — алгебра ростков гладких функций в точке \( p \). Касательным вектором в точке \( p \) называется линейное отображение \( v: C^\infty(p) \to \mathbb{R} \), удовлетворяющее правилу Лейбница: \( v(fg) = f(p) v(g) + g(p) v(f) \). Такое отображение называется дифференцированием в точке \( p \). Тогда \( T_pM \) — это пространство всех дифференцирований. Это определение удобно тем, что оно не зависит от выбора координат и напрямую связывает касательные векторы с операцией дифференцирования функций.

Свойства

Касательное пространство обладает рядом фундаментальных свойств, которые делают его ключевым инструментом дифференциальной геометрии.

• Векторная структура: \( T_pM \) является вещественным векторным пространством размерности \( n \). Базис в нём задаётся частными производными по координатам в локальной карте: \( \left\{ \frac{\partial}{\partial x^1}\big|_p, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n}\big|_p \right\} \).
• Дифференциал отображения: Для гладкого отображения \( F: M \to N \) между многообразиями определён дифференциал \( dF_p: T_pM \to T_{F(p)}N \), который является линейным отображением. Он переводит класс эквивалентности кривой \( [\gamma] \) в \( [F \circ \gamma] \). В координатах дифференциал представляется матрицей Якоби.
• Касательное расслоение: Объединение всех касательных пространств \( TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM \) образует гладкое многообразие размерности \( 2n \), называемое касательным расслоением. Оно является векторным расслоением над \( M \).
• Кокасательное пространство: Двойственным к \( T_pM \) является кокасательное пространство \( T^_pM \), состоящее из линейных функционалов на касательных векторах. Элементы \( T^_pM \) называются ковекторами или 1-формами в точке.

История

Понятие касательного пространства восходит к работам Готфрида Лейбница и Исаака Ньютона, которые ввели понятие производной как предела секущих. Однако в современном виде оно было формализовано в XIX–XX веках в рамках дифференциальной геометрии. Бернхард Риман в 1854 году заложил основы римановой геометрии, где касательное пространство используется для определения метрического тензора. В начале XX века Эли Картан и Герман Вейль развили теорию связностей и расслоений, что привело к современному аксиоматическому определению многообразия и касательного пространства. Окончательная формализация через дифференцирования была дана в работах Жана Дьёдонне и других математиков в середине XX века.

Примеры

Касательное пространство к сфере

Рассмотрим двумерную сферу \( S^2 \) в \( \mathbb{R}^3 \), заданную уравнением \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \). В точке \( p = (0,0,1) \) (северный полюс) касательное пространство \( T_pS^2 \) состоит из всех векторов, ортогональных радиус-вектору точки \( p \), то есть лежащих в плоскости \( z = 1 \). Базисом могут служить векторы \( (1,0,0) \) и \( (0,1,0) \). В общем случае, для точки \( p = (x_0, y_0, z_0) \) касательное пространство — это множество векторов \( v \in \mathbb{R}^3 \), таких что \( v \cdot p = 0 \).

Касательное пространство к группе Ли

Группа Ли \( G \) (например, \( GL(n, \mathbb{R}) \) — группа обратимых матриц) является одновременно гладким многообразием и группой. Касательное пространство в единице \( e \) группы \( G \) называется алгеброй Ли \( \mathfrak{g} \). Например, для группы \( SO(3) \) (группа вращений трёхмерного пространства) алгебра Ли \( \mathfrak{so}(3) \) состоит из кососимметрических матриц размера \( 3 \times 3 \).

Применение

Касательное пространство является основой для многих разделов математики и физики.

• Дифференциальная геометрия: Определение римановой метрики, связностей, кривизны. Риманова метрика задаёт скалярное произведение на каждом касательном пространстве, что позволяет измерять длины и углы на многообразии.
• Тензорный анализ: Тензоры (например, тензор кривизны Римана) определяются как полилинейные отображения на касательных и кокасательных пространствах.
• Теоретическая физика: В общей теории относительности пространство-время моделируется как четырёхмерное псевдориманово многообразие. Касательное пространство в каждой точке интерпретируется как локальное пространство Минковского, где действует специальная теория относительности. Векторы касательного пространства соответствуют 4-скоростям и 4-импульсам частиц.
• Механика: В аналитической механике конфигурационное пространство системы является многообразием, а касательное пространство описывает возможные скорости (фазовое пространство скоростей). Лагранжева механика формулируется на касательном расслоении.
• Теория управления: Касательное пространство используется для линеаризации нелинейных систем в окрестности точки равновесия (метод первого приближения).

Связанные понятия

• Касательный вектор: Элемент касательного пространства.
• Векторное поле: Гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке многообразия касательный вектор из соответствующего касательного пространства.
• Дифференциальная форма: Гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке ковектор из кокасательного пространства.
• Параллельное перенесение: Способ переноса векторов из одного касательного пространства в другое вдоль кривой, задаваемый связностью.

Источники

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.
• Warner F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. — Springer, 1983.