Открыть сервис
Главная → Блог → Коммутативность в математике и логике

Коммутативность в математике и логике

Коммутативность (от позднелат. commutativus — «меняющийся, перестановочный») — свойство бинарной операции, при котором результат не зависит от порядка расположения операндов. Формально операция ∗ на множестве называется коммутативной, если для любых элементов a и b этого множества выполняется равенство a ∗ b = b ∗ a. Коммутативность является одним из фундаментальных алгебраических свойств наряду с ассоциативностью и дистрибутивностью и широко используется в арифметике, алгебре, математической логике, теории множеств и физике.

Общее определение

Пусть задано множество M и определённая на нём бинарная операция ∗, то есть правило, сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов (a, b) некоторый элемент c того же множества. Операция называется коммутативной, если равенство a ∗ b = b ∗ a справедливо для всех a и b из M. Если хотя бы для одной пары равенство нарушается, операция считается некоммутативной. Свойство проверяется на всём множестве, а не на отдельных примерах.

Примеры коммутативных операций

Наиболее привычные примеры относятся к арифметике действительных чисел:

Коммутативность сложения и умножения натуральных чисел обычно принимается как аксиома или выводится из аксиом Пеано. В школьном курсе эти свойства называют переместительными законами сложения и умножения.

Примеры некоммутативных операций

Многие важные операции коммутативностью не обладают:

  • вычитание: a − b ≠ b − a в общем случае;
  • деление: a : b ≠ b : a;
  • умножение матриц: AB в общем случае не равно BA;
  • композиция функций: (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x);
  • векторное произведение в трёхмерном пространстве: a × b = −(b × a), то есть операция антикоммутативна;
  • возведение в степень: a^b ≠ b^a.

Некоммутативность умножения матриц имеет принципиальное значение в линейной алгебре, квантовой механике и теории представлений: именно из неё вытекает соотношение неопределённостей Гейзенберга, поскольку операторы координаты и импульса не коммутируют.

Связанные понятия

Коммутативность тесно связана с другими алгебраическими свойствами. Ассоциативность (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) не влечёт и не исключает коммутативность: сложение матриц и ассоциативно, и коммутативно, а умножение матриц ассоциативно, но не коммутативно. Дистрибутивность связывает две операции и часто формулируется отдельно для левого и правого варианта, если операция некоммутативна.

Множество с двумя операциями, одна из которых (сложение) коммутативна и ассоциативна, а вторая (умножение) дистрибутивна относительно первой, образует кольцо. Если умножение также коммутативно, кольцо называется коммутативным. Коммутативные кольца — центральный объект коммутативной алгебры, изучающей идеалы, модули и спектры колец; к ним относятся кольца целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, кольца многочленов.

Группа, операция в которой коммутативна, называется абелевой (коммутативной) в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Примерами служат группа целых чисел по сложению, группа обратимых элементов поля по умножению, группа векторов по сложению. Группа вращений плоскости коммутативна, а группа вращений трёхмерного пространства — нет.

Коммутативность в логике и теории множеств

В математической логике коммутативность рассматривается как свойство логических связок. Законы коммутативности конъюнкции и дизъюнкции входят в число основных законов классической логики высказываний. В булевой алгебре коммутативность операций И, ИЛИ и сложения по модулю два лежит в основе упрощения логических схем и синтеза цифровых устройств. В теории множеств коммутативны объединение, пересечение и симметрическая разность.

Коммутативность в физике

В квантовой механике физические величины описываются операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Две величины могут быть измерены одновременно с произвольной точностью тогда и только тогда, когда соответствующие операторы коммутируют. Коммутатор операторов Â и B̂ определяется как [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â; его равенство нулю означает коммутативность. Каноническое коммутационное соотношение для координаты и импульса [x̂, p̂] = iħ лежит в основе принципа неопределённости. Коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций, что используется при решении уравнения Шрёдингера.

Значение

Коммутативность упрощает вычисления и алгебраические преобразования, позволяет переставлять слагаемые и множители, менять порядок операций при доказательствах. В программировании свойство коммутативности учитывается при оптимизации вычислений и распараллеливании: коммутативные операции допускают произвольный порядок выполнения, что важно для распределённых систем и параллельных алгоритмов. Изучение некоммутативных структур привело к созданию некоммутативной геометрии и теории операторных алгебр.

Источники

  • Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.
  • Математический энциклопедический словарь.

Похожие материалы