Комплексный модуль сдвига

Комплексный модуль сдвига — это физическая величина, характеризующая упругие и вязкие свойства материала при деформации сдвига в условиях динамического (циклического) нагружения. В отличие от статического модуля сдвига, который описывает реакцию материала на постоянное усилие, комплексный модуль сдвига учитывает как упругую (накопление энергии), так и вязкую (рассеивание энергии) составляющие, что позволяет описывать поведение вязкоупругих материалов, таких как полимеры, биологические ткани, грунты и композиты.

Определение и математическое представление

Комплексный модуль сдвига \( G^ \) определяется как отношение комплексного напряжения сдвига \( \tau^ \) к комплексной деформации сдвига \( \gamma^* \) при гармоническом воздействии:

\[ G^ = \frac{\tau^}{\gamma^*} = G' + iG'' \]

где:

• \( G' \) — модуль накопления (упругая составляющая), характеризующий способность материала запасать энергию упругой деформации и возвращать её при снятии нагрузки;
• \( G'' \) — модуль потерь (вязкая составляющая), характеризующий способность материала рассеивать энергию в виде тепла;
• \( i \) — мнимая единица.

Величина \( G' \) пропорциональна энергии, возвращаемой за цикл деформации, а \( G'' \) — энергии, рассеянной за цикл. Отношение модуля потерь к модулю накопления называется тангенсом угла механических потерь (или демпфирующей способностью):

\[ \tan \delta = \frac{G''}{G'} \]

где \( \delta \) — фазовый угол сдвига между напряжением и деформацией. Для идеально упругого тела \( \delta = 0 \), для идеально вязкой жидкости \( \delta = 90^\circ \).

Физический смысл

При циклическом сдвиговом нагружении материал испытывает периодические деформации. В вязкоупругих материалах деформация отстаёт от напряжения по фазе из-за внутреннего трения. Комплексный модуль сдвига позволяет количественно описать это отставание:

• Упругая составляющая (\( G' \)) связана с обратимыми деформациями, происходящими за счёт изменения конформации макромолекул или смещения структурных элементов без разрушения связей.
• Вязкая составляющая (\( G'' \)) обусловлена необратимыми процессами, такими как течение, перегруппировка цепей, разрыв и восстановление слабых связей (например, водородных) или трение между частицами наполнителя.

В твёрдых телах (например, в металлах при комнатной температуре) \( G' \) значительно превышает \( G'' \), и материал ведёт себя как упругий. В жидкостях и расплавах, наоборот, \( G'' \) доминирует. В вязкоупругих материалах (резины, гели, биологические ткани) обе составляющие могут быть сопоставимы.

Методы измерения

Основным методом определения комплексного модуля сдвига является динамический механический анализ (ДМА). Испытания проводятся на специальных приборах — реометрах или динамических механических анализаторах. Образец материала подвергается гармоническому сдвиговому воздействию с заданной амплитудой деформации (или напряжения) и частотой. Измеряются амплитуда отклика и фазовый сдвиг.

Различают два основных режима:

• Режим контролируемой деформации: задаётся синусоидальная деформация \( \gamma(t) = \gamma_0 \sin(\omega t) \), измеряется напряжение \( \tau(t) \).
• Режим контролируемого напряжения: задаётся напряжение \( \tau(t) = \tau_0 \sin(\omega t) \), измеряется деформация.

По полученным данным рассчитываются \( G' \), \( G'' \) и \( \tan \delta \). Для точного определения модуля необходимо учитывать геометрию образца и инструмента (например, параллельные пластины, конус-пластина, коаксиальные цилиндры).

Зависимость от параметров

Комплексный модуль сдвига зависит от нескольких факторов:

Частота

При увеличении частоты колебаний модуль накопления \( G' \) обычно возрастает, так как материал не успевает релаксировать (перестраивать свою структуру), и ведёт себя более упруго. Модуль потерь \( G'' \) проходит через максимум в области частот, соответствующих характерным временам релаксации материала.

Температура

Повышение температуры, как правило, снижает \( G' \) и \( G'' \) из-за ускорения молекулярных движений и уменьшения вязкости. Для термореологических простых материалов (например, аморфных полимеров) используется принцип температурно-временной суперпозиции, позволяющий строить «мастер-кривые» зависимости модуля от частоты при разных температурах.

Амплитуда деформации

В линейной области вязкоупругости (при малых амплитудах) \( G' \) и \( G'' \) не зависят от амплитуды. При больших амплитудах наблюдается нелинейное поведение: \( G' \) может уменьшаться (эффект размягчения, например, эффект Пейна в наполненных резинах), а \( G'' \) может возрастать.

Структура материала

• Полимеры: \( G' \) и \( G'' \) зависят от молекулярной массы, степени сшивки, наличия наполнителей и пластификаторов.
• Грунты: \( G' \) и \( G'' \) зависят от плотности, влажности, давления и типа частиц.
• Биологические ткани: \( G' \) и \( G'' \) зависят от состояния ткани (например, здоровой или поражённой), возраста и условий измерения.

Применение

Комплексный модуль сдвига является ключевым параметром в различных областях науки и техники:

• Материаловедение: для оценки вязкоупругих свойств полимеров, эластомеров, композитов, клеёв и герметиков. Позволяет прогнозировать поведение материалов при циклических нагрузках (например, в шинах, амортизаторах, уплотнителях).
• Геотехника и сейсмология: для моделирования поведения грунтов при динамических воздействиях (землетрясения, вибрации от транспорта). \( G' \) и \( G'' \) используются для расчёта затухания сейсмических волн.
• Биомеханика: для исследования механических свойств биологических тканей (кожа, хрящи, кровеносные сосуды, гелеобразные среды). Изменения \( G' \) и \( G'' \) могут служить диагностическими маркерами заболеваний (например, рака молочной железы, фиброза печени).
• Пищевая промышленность: для контроля реологических свойств продуктов (желе, соусы, тесто, мороженое). \( G' \) и \( G'' \) позволяют оценить структуру, стабильность и текстуру.
• Фармацевтика: для оценки вязкоупругих свойств гелей, мазей, кремов и растворов полимеров, используемых в качестве носителей лекарств.

Примеры значений

Типичные значения \( G' \) и \( G'' \) для некоторых материалов при комнатной температуре и частоте 1 Гц (приблизительные, зависят от конкретного состава и условий):

Связь с другими модулями

Комплексный модуль сдвига является частным случаем комплексного модуля упругости, который может быть определён для различных видов деформации (растяжение, сжатие, изгиб). Для изотропных материалов существует связь между комплексным модулем сдвига \( G^ \), комплексным модулем Юнга \( E^ \) и комплексным коэффициентом Пуассона \( \nu^* \):

\[ E^ = 2 G^ (1 + \nu^*) \]

Однако на практике \( \nu^ \) также является комплексной величиной, и его измерение затруднено. Поэтому для многих вязкоупругих материалов модули \( G^ \) и \( E^* \) измеряют независимо.

Ограничения

Комплексный модуль сдвига, определённый в рамках линейной теории вязкоупругости, применим только при малых деформациях, когда материал ведёт себя линейно. При больших амплитудах (например, в процессах течения или разрушения) необходимо использовать нелинейные модели (например, нелинейный вязкоупругий анализ с большими деформациями). Кроме того, измеренные значения \( G' \) и \( G'' \) могут зависеть от геометрии инструмента и условий эксперимента (например, наличия проскальзывания на границе образца).

Источники

1. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.
2. Малкин А. Я., Исаев А. И. Реология: концепции, методы, приложения. — СПб.: Профессия, 2007.
3. Lakes R. S. Viscoelastic Materials. — Cambridge University Press, 2009.
4. Barnes H. A., Hutton J. F., Walters K. An Introduction to Rheology. — Elsevier, 1989.
5. ГОСТ Р 57598-2017 «Материалы полимерные. Метод динамического механического анализа».