Конструктивность — понятие в философии и логике¶

Конструктивность — это подход к математике, логике и философии, при котором математические объекты и доказательства считаются существующими только в той мере, в какой они могут быть явно построены или вычислены. В отличие от классического (стандартного) подхода, допускающего закон исключённого третьего и существование объектов по косвенным доказательствам, конструктивизм требует, чтобы утверждение о существовании сопровождалось явным методом построения объекта. Термин «конструктивный» (от лат. constructivus — «строительный», «создаваемый») применяется также в других областях: в психологии и педагогике конструктивным называют поведение, направленное на решение задачи и создание, а не разрушение; в юриспруденции конструктивным признаётся толкование нормы, создающее правовое правило, а не просто воспроизводящее его.

¶История возникновения

Идеи конструктивности восходят к работам немецкого математика и философа Эрнста Цермело (1908) и, особенно, к интуиционизму Л. Е. Я. Брауэра, основателя математической интуиционистской школы. Брауэр в начале XX века утверждал, что математика есть продукт чистой мыслительной деятельности человека, а математические объекты существуют лишь постольку, поскольку они могут быть построены умственными усилиями. Классическое доказательство от противного, по мнению интуиционистов, не даёт реального способа построения объекта и потому недопустимо.

В 1930-е годы голландский математик А. Гейтинг и его ученики разработали интуиционистскую логику, в которой закон исключённого третьего (A или не-A) не является общезаконным принципом. В 1940-х годах американский математик Стивен Клини создал теорию вычислимости и рекурсивную теорию, показавшую тесную связь конструктивных идей с алгоритмической вычислимостью. В 1960-е годы А. С. Есенин-Вольпин и другие советские математики разработали конструктивную математику в рамках теории алгоритмов и вычислимых функций, а Э. Бишоп в книге «Основы конструктивного анализа» (1967) показал, что большая часть классического анализа может быть восстановлена в конструктивной форме без потери практически значимых результатов.

¶Основные положения

Ключевые принципы конструктивного подхода:

• Принцип построения. Утверждение «существует объект X, обладающий свойством P» истинно только тогда, когда указан конкретный метод построения такого X.
• Отрицание закон исключённого третьего. Формула A ∨ ¬A не принимается как общезаконная; вместо неё допускается лишь более слабая форма A ∨ ¬¬A.
• Реализуемость. Математическое утверждение рассматривается как алгоритмическая процедура: доказательство есть инструкция по вычислению или построению.
• Отделение математики от онтологии. Математические объекты не считаются независимо существующими сущностями; они существуют лишь как конструкции сознания или алгоритмы.

¶Классификация направлений

Существует несколько течений конструктивной математики, различающихся строгостью:

В России конструктивная математика развивалась в школах А. Н. Колмогорова, А. А. Маркова и П. С. Новикова; особое значение имели работы по алгоритмической теории информации и теории алгоритмов.

¶Применение

Конструктивные идеи оказали существенное влияние на:

• Теорию вычислимости. Понятие алгоритма и вычислимой функции напрямую связано с конструктивным требованием явного построения.
• Компьютерные науки. Программирование и доказательство программ (метод Хоара, формальная верификация) опираются на конструктивные принципы: программа есть явная инструкция, доказательство корректности — конструкция.
• Логику. Интуиционистская логика и логика предикатов высшего порядка используются в теории типов и формальных системах.
• Философию математики. Конструктивизм противостоит платонизму и формализму, предлагая третий путь — математику как человеческую деятельность.

¶Критика

Классические математики указывают, что конструктивный подход ограничивает математику, отказываясь от мощных методов (например, закона исключённого третьего), которые в классической математике приводят к плодотворным результатам. В ответ конструктивисты отмечают, что классические доказательства существования часто не дают возможности вычислить или построить объект, что делает их бесполезными для приложений. Компромиссные позиции (например, доказательство без использования ЛЗТ, но с допущением его в отдельных случаях) занимают так называемые «конструктивисты-минималисты» и сторонники обратимой математики (переключение между классическим и конструктивным режимами).

Источники:

• Бишоп Э. Основы конструктивного анализа. — М.: Мир, 1970.
• Клини С. Введение в метаматематику. — М.: Иностранная литература, 1960.
• Колмогоров А. Н. О понятии алгоритма. — Успехи математических наук, 1953.
• Марков А. А. Теория алгоритмов. — М.: Наука, 1984.
• Троелстра А., ван Дален Д. Логика и интуиционизм. — М.: Мир, 1987.