Логарифм по основанию 10¶

Логарифм по основанию 10 (lg) — десятичный логарифм, логарифмическая функция, аргумент которой представляется как степень числа 10. Обозначение lg (от лат. logarithmus) принято в российской и европейской математической традиции; в англоязычной литературе используется обозначение log₁₀ или просто log. Десятичный логарифм является одним из трёх наиболее распространённых видов логарифмов наряду с натуральным (ln, основание e ≈ 2,71828) и двоичным (lb, основание 2).

¶Определение и свойства

Десятичный логарифм числа x > 0 — это показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить x:

lg x = n ⇔ 10ⁿ = x

Функция y = lg x определена для всех положительных вещественных чисел, область значений — вся числовая прямая. График функции проходит через точку (1; 0), имеет вертикальную асимптоту x = 0 и строго возрастает.

Основные свойства:

• lg (a · b) = lg a + lg b
• lg (a / b) = lg a − lg b
• lg (aⁿ) = n · lg a
• lg 1 = 0, lg 10 = 1, lg 100 = 2, lg 0,01 = −2

Переход от логарифма с одним основанию к другому выполняется по формуле смены основания: lg x = ln x / ln 10.

¶История

Идея логарифмов была предложена шотландским математиком Джоном Непером в 1614 году в труде «Описание удивительной таблицы логарифмов». Первоначально логарифмы Непера не совпадали с современным десятичным логарифмом, но были к нему близки. Английский математик Генри Бригс в 1617 году опубликовал таблицу логарифмов по основанию 10 («Logarithmorum Chilias Prima»), вычислил логарифмы чисел от 1 до 1000 с точностью до 14 знаков и предложил использовать десятичное основание, поскольку оно удобно для практических вычислений в позиционной десятичной системе счисления. В честь Бригса десятичный логарифм иногда называют «бриджаевым логарифмом» (modulus Briggsii).

В России обозначение lg для десятичного логарифма закрепилось в школьных и вузовских учебниках; оно соответствует ГОСТ 8.586.5-2005 «Информация и документация. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Метрология. Единицы измерения количества информации», а также рекомендациям ISO 80000-2.

¶Таблица логарифмов

Десятичные логарифмы часто встречаются в задачах и вычислениях:

Приближённые значения удобно получать из соотношения lg 2 + lg 5 = 1.

¶Применение

¶Вычислительная техника

До появления электронных калькуляторов логарифмические логарифмические таблицы и логарифмические линейки позволяли сводить умножение и деление к сложению и вычитанию. Таблицы десятичных логарифмов были основным инструментом инженерных и научных расчётов с XVII века до середины XX века.

¶Шкала децибел

В акустике, электротехнике и радиотехнике отношение мощностей измеряется в децибелах (дБ), причём уровень мощности определяется формулой L = 10 · lg (P / P₀), где P₀ — опорная мощность. Уровень напряжения или звукового давления: L = 20 · lg (U / U₀). Логарифмическая шкала позволяет представлять огромный диапазон значений на компактной шкале.

¶Химия

В химии значение pH раствора определяется как pH = −lg [H⁺], где [H⁺] — молярная концентрация ионов водорода. Шкала pH была предложена Сёреном Сёренсеном в 1909 году.

¶Астрономия

Звёздная величина m связана с яркостью звезды B соотношением m = −2,5 · lg B + C. Разница в пяти звёздных величинах соответствует отношению яркостей ровно в 100 раз.

¶Теория информации

В теории информации энтропия часто измеряется в битах, что связано с двоичным логарифмом, однако при работе с десятичными системами счисления используется lg.

¶Интересные факты

• lg 2 ≈ 0,30103 — одно из самых узнаваемых приближений в математике.
• Сумма lg 2 + lg 3 + lg 5 = lg 30 ≈ 1,47712.
• Число знаков после запятой в lg 2, необходимых для вычисления 2ⁿ, определяет количество десятичных цифр в числе 2ⁿ.

¶Источники

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений»
• Бронштейн И. Н. «Справочник по математике»
• ГОСТ 8.586.5-2005. Единицы измерения количества информации
• ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics
• Непер Дж. «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614)