Макс Ден

Макс Ден — немецкий и американский математик, один из основоположников комбинаторной топологии и теории групп. Известен решением третьей проблемы Гильберта, доказательством леммы Дена о кривых, а также введением понятия копредставления группы. Его работы заложили основы для развития алгебраической топологии и геометрической теории групп.

Биография

Ранние годы и образование

Макс Вильгельм Ден родился 13 ноября 1878 года в Гамбурге в еврейской семье. Его отец, Юстус Ден, был известным врачом и профессором психиатрии. После окончания гимназии в 1897 году Макс поступил в Университет Фрайбурга, где изучал математику и физику. Позднее он продолжил обучение в Гёттингенском университете, который в то время был одним из ведущих математических центров мира. Среди его преподавателей были Давид Гильберт и Феликс Клейн.

В 1900 году Ден защитил докторскую диссертацию под руководством Гильберта. Тема диссертации была посвящена третьей проблеме Гильберта — одной из 23 проблем, поставленных математиком на Втором международном конгрессе математиков в Париже. Ден решил её в том же году, доказав, что равновеликие многогранники не всегда равносоставлены.

Академическая карьера в Германии

После защиты диссертации Ден работал в Гёттингене, а затем в 1901 году перешёл в Университет Мюнстера, где в 1904 году получил звание приват-доцента. В 1911 году он стал профессором в Кильском университете. В этот период он активно занимался топологией и теорией групп, опубликовав ряд фундаментальных работ.

В 1913 году Ден перешёл в Боннский университет, где работал до 1921 года. Во время Первой мировой войны он служил в немецкой армии, но продолжал заниматься математическими исследованиями.

Эмиграция и работа в США

С приходом к власти нацистов в 1933 году Ден, как еврей, был уволен из университета. Он эмигрировал в Данию, а затем в 1935 году — в США. В Соединённых Штатах он столкнулся с трудностями в поиске постоянной академической должности из-за своего возраста и языкового барьера. Однако он смог получить временные позиции в ряде учебных заведений, включая Университет Джонса Хопкинса и Университет Иллинойса.

С 1939 года Ден преподавал в небольшом колледже Св. Иоанна в Аннаполисе, штат Мэриленд. Там он вёл курсы по математике и философии, а также занимался переводами античных текстов. Он продолжал научную работу до конца жизни.

Макс Ден скончался 27 июня 1952 года в Блэк-Маунтин, штат Северная Каролина.

Научные достижения

Решение третьей проблемы Гильберта

Третья проблема Гильберта формулировалась так: «Можно ли два равновеликих многогранника разбить на одинаковое число попарно конгруэнтных частей?» Для двумерного случая (многоугольников) ответ был положительным — любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Ден доказал, что для трёхмерного случая это неверно.

Он ввёл инвариант, названный впоследствии инвариантом Дена. Для многогранника он вычисляется как сумма по всем рёбрам произведения длины ребра на тангенс двугранного угла при этом ребре. Ден показал, что если два многогранника равносоставлены, то их инварианты должны быть равны. Затем он построил два равновеликих тетраэдра с разными инвариантами, что доказывало невозможность их равносоставленности. Это решение стало первым в истории решением проблемы Гильберта.

Лемма Дена

Лемма Дена — фундаментальный результат в комбинаторной топологии, касающийся свойств кривых на поверхности. Она утверждает, что если простая замкнутая кривая на двумерной поверхности гомотопна нулю, то она ограничивает диск, вложенный в эту поверхность. Лемма была доказана Деном в 1910 году, хотя в его доказательстве обнаружился пробел, который был исправлен позднее. Полное и строгое доказательство было дано Кристофером Зееманом в 1957 году.

Лемма Дена является ключевым инструментом в теории трёхмерных многообразий и используется при доказательстве теоремы о сфере.

Теория групп

В теории групп Ден внёс значительный вклад в изучение копредставлений групп. Он ввёл понятие копредставления группы — задания группы с помощью образующих и соотношений. Его работы заложили основы комбинаторной теории групп.

Ден сформулировал три фундаментальные проблемы, известные как проблемы Дена:

1. Проблема тождества слов: существует ли алгоритм, позволяющий определить, является ли данное слово в образующих группы единичным элементом?
2. Проблема сопряжённости: существует ли алгоритм, позволяющий определить, являются ли два данных слова в образующих группы сопряжёнными?
3. Проблема изоморфизма: существует ли алгоритм, позволяющий определить, изоморфны ли две данные группы, заданные копредставлениями?

Эти проблемы оказались неразрешимыми в общем случае, что было доказано П. С. Новиковым в 1955 году и независимо У. Буном в 1959 году. Однако для некоторых классов групп (например, гиперболических) эти проблемы разрешимы.

Вклад в топологию

Ден внёс важный вклад в развитие комбинаторной топологии. Он изучал свойства многообразий размерности 2 и 3, ввёл понятие диаграммы Дена для представления групп. Эти диаграммы используются для анализа соотношений в группах и являются важным инструментом в геометрической теории групп.

Также Ден занимался изучением узлов и зацеплений, хотя его работы в этой области были менее известны.

Личные качества и педагогическая деятельность

Современники описывали Дена как скромного, доброжелательного и глубоко образованного человека. Он свободно владел несколькими языками, включая латынь и греческий, и интересовался философией и историей науки. В колледже Св. Иоанна он вёл семинары по чтению античных математических текстов в оригинале.

Признание

Несмотря на выдающиеся научные достижения, Ден не получил широкого признания при жизни. После эмиграции он оказался в изоляции от ведущих математических центров. Однако его работы были переоценены во второй половине XX века. В честь Макса Дена названы:

• Инвариант Дена (в теории многогранников);
• Лемма Дена (в топологии);
• Диаграммы Дена (в теории групп);
• Премия Макса Дена (учреждена в 2001 году Международным обществом математической физики).

Интересные факты

• Ден был одним из первых, кто применил алгебраические методы в топологии, что предвосхитило развитие гомологической алгебры.
• В 1930-х годах он переписывался с Альбертом Эйнштейном, обсуждая философские аспекты математики.
• В колледже Св. Иоанна Ден перевёл на английский язык «Начала» Евклида и «Арифметику» Диофанта.

Источники

• Stillwell J. Max Dehn // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Vol. 100, № 2. — P. 105–119.
• Chandler B., Magnus W. The History of Combinatorial Group Theory: A Case Study in the History of Ideas. — Springer, 1982.
• Darboux G. La troisième question de Hilbert // Bulletin des Sciences Mathématiques. — 1902. — Vol. 26. — P. 1–14.
• Dehn M. Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes // Mathematische Annalen. — 1910. — Vol. 69. — P. 137–168.
• Dehn M. Über unendliche diskontinuierliche Gruppen // Mathematische Annalen. — 1911. — Vol. 71. — P. 116–144.