Проблемы Гильберта

Проблемы Гильберта — это список из 23 фундаментальных математических проблем, сформулированных немецким математиком Давидом Гильбертом на Втором международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года. Этот доклад, озаглавленный «Математические проблемы», стал одним из самых влиятельных программных заявлений в истории науки, определившим направления развития математики на весь XX век и частично на XXI век. Проблемы охватывают широкий спектр областей: от оснований математики и теории чисел до алгебры, геометрии, топологии и математической физики.

История возникновения

Контекст и доклад

К концу XIX века математика переживала период интенсивного развития, сопровождавшийся накоплением большого количества новых результатов и методов. Возникла потребность в систематизации и определении наиболее перспективных направлений. Давид Гильберт, к тому времени уже признанный авторитет в области теории инвариантов и алгебраической теории чисел, решил представить на конгрессе не обзор достижений, а программу будущих исследований.

Первоначально Гильберт планировал включить в доклад 10 проблем, но в итоге расширил список до 23. Доклад был прочитан на немецком языке, а его полный текст был опубликован в 1901 году в журнале «Archiv der Mathematik und Physik». Русский перевод, выполненный математиком Павлом Александровым, появился в 1902 году.

Цели и значение

Гильберт ставил перед собой несколько целей:

• Стимулировать развитие математики, указав на конкретные трудные задачи.
• Укрепить веру в разрешимость всех математических проблем (знаменитая фраза: «Мы должны знать — мы будем знать»).
• Продемонстрировать единство математической науки, показав связь между её разделами.

Список оказал колоссальное влияние. Решение каждой из проблем Гильберта считалось высшим научным достижением, а их нерешённость привлекала внимание лучших умов планеты. К настоящему времени большинство проблем решены, частично решены или получили статус неразрешимых в рамках принятых аксиом.

Список проблем и их статус

Ниже приведён полный список проблем Гильберта с указанием их текущего статуса (по состоянию на 2024 год). Проблемы сгруппированы по тематикам.

Основания математики и логика

1. Проблема Кантора о мощности континуума. Доказать или опровергнуть гипотезу континуума (существует ли множество, мощность которого строго больше мощности натуральных чисел, но строго меньше мощности действительных чисел).

• Статус: Частично решена. В 1940 году Курт Гёдель доказал, что отрицание гипотезы континуума не противоречит аксиомам теории множеств Цермело — Френкеля (ZF). В 1963 году Пол Коэн доказал, что сама гипотеза также не противоречит ZF. Таким образом, гипотеза континуума независима от стандартных аксиом теории множеств — её нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках ZFC. Проблема не решена в том смысле, что не найдено «естественного» аксиоматического расширения, которое бы её однозначно решило.

1. Непротиворечивость арифметики. Доказать непротиворечивость аксиом арифметики (то есть что из них нельзя вывести противоречие).

• Статус: Решена частично, с неожиданным результатом. В 1931 году Курт Гёдель доказал вторую теорему о неполноте, из которой следует, что непротиворечивость арифметики нельзя доказать средствами самой арифметики (если она непротиворечива). Доказательства непротиворечивости, предложенные Герхардом Генценом (1936) и другими, используют более сильные метаматематические средства.

Арифметика и теория чисел

1. Равносоставленность тетраэдра и куба. Найти два многогранника (тетраэдр и куб) равного объёма, которые нельзя разложить на конечное число попарно конгруэнтных многогранников.

• Статус: Решена. В 1900 году Макс Ден, ученик Гильберта, доказал, что правильный тетраэдр и куб равного объёма не равносоставлены (не эквивалентны по разрезанию). Это привело к созданию теории инвариантов Дена.

1. Прямая линия как кратчайшее расстояние. Построить геометрию, в которой прямая является кратчайшим путём между двумя точками, но не является единственной такой линией.

• Статус: Решена. Георг Хамель (1903) и другие построили примеры метрических пространств (геометрий), где это условие выполняется. Проблема считается решённой, хотя её формулировка была нестрогой.

1. Понятие непрерывной группы Ли. Является ли каждая непрерывная группа преобразований (локально) группой Ли, то есть допускает ли она дифференцируемую структуру?

• Статус: Решена. В 1950-х годах Эндрю Глисон, Дик Монтгомери и Лео Циппин доказали, что любая локально компактная топологическая группа конечной размерности является группой Ли (пятая проблема Гильберта). Для бесконечномерных групп ответ отрицательный.

1. Аксиоматизация физики. Математически изложить аксиомы физических наук (в первую очередь, механики и теории вероятностей).

• Статус: Частично решена. Аксиоматизация теории вероятностей была выполнена Андреем Колмогоровым в 1933 году. Аксиоматизация классической механики была предложена, но не является общепринятой. Проблема в целом остаётся открытой, так как физика постоянно развивается.

1. Иррациональность и трансцендентность чисел. Доказать, что число \( 2^{\sqrt{2}} \) является трансцендентным (не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами).

• Статус: Решена. В 1934 году Александр Гельфонд и независимо Теодор Шнайдер доказали общую теорему (теорема Гельфонда — Шнайдера), из которой следует трансцендентность \( a^b \) для алгебраических \( a \neq 0,1 \) и алгебраических иррациональных \( b \). В частности, \( 2^{\sqrt{2}} \) трансцендентно.

1. Проблема простых чисел (гипотеза Римана). Доказать, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть, равную 1/2.

• Статус: Нерешена. Это одна из самых известных и сложных нерешённых математических проблем. Входит в список «Проблем тысячелетия» Института Клэя (за решение полагается премия в 1 млн долларов). Гипотеза проверена для миллиардов нулей.

1. Закон взаимности в любом числовом поле. Доказать наиболее общий закон взаимности для вычетов степеней в произвольных алгебраических числовых полях.

• Статус: Решена. Эмиль Артин (1927) доказал общий закон взаимности для полей классов. Это стало вершиной теории полей классов.

1. Диофантовы уравнения. Разработать общий метод для решения произвольного диофантова уравнения (уравнения с целыми коэффициентами, для которого ищутся целые решения).

• Статус: Решена отрицательно. В 1970 году Юрий Матиясевич, опираясь на работы Мартина Дэвиса, Хилари Патнэма и Джулии Робинсон, доказал алгоритмическую неразрешимость десятой проблемы Гильберта. То есть, не существует общего алгоритма, который бы для любого диофантова уравнения определял, имеет ли оно целочисленные решения.

Алгебра и теория инвариантов

1. Квадратичные формы. Исследовать квадратичные формы с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами.

• Статус: Решена. Теория квадратичных форм над полями алгебраических чисел была разработана Хельмутом Хассе (теория Хассе — Минковского) и другими.

1. Теорема Кронекера о полях классов. Распространить теорему Кронекера о комплексном умножении (о том, что абелевы расширения мнимых квадратичных полей порождаются значениями эллиптических функций) на произвольные числовые поля.

• Статус: Частично решена. Для абелевых расширений полей алгебраических чисел построена теория полей классов. Однако обобщение на неабелевы расширения (программа Ленглендса) остаётся одной из центральных нерешённых проблем современной математики.

1. Решение уравнений 7-й степени. Доказать, что общее уравнение 7-й степени не может быть решено с помощью непрерывных функций от двух переменных.

• Статус: Решена. В 1957 году Владимир Арнольд (в возрасте 19 лет) доказал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Это опровергло исходную гипотезу Гильберта. Позже Андрей Колмогоров обобщил результат (теорема Колмогорова — Арнольда).

Геометрия и топология

1. Конечность систем инвариантов. Доказать, что кольцо инвариантов алгебраической группы, действующей на аффинном пространстве, является конечно порождённым.

• Статус: Решена. В 1958 году Масаёси Нагата построил контрпример, показав, что кольцо инвариантов не всегда конечно порождено. Позже были найдены условия конечной порождённости (теория редуктивных групп).

1. Строгое обоснование исчисления Шуберта. Дать строгое математическое обоснование методу перечислительной геометрии, разработанному Германом Шубертом.

• Статус: Решена. В 1960-х годах, с развитием теории пересечений в алгебраической геометрии (работы Жана-Пьера Серра, Александра Гротендика, Стивена Клеймана), исчисление Шуберта получило строгое обоснование.

1. Топология алгебраических кривых и поверхностей. Исследовать топологию (число овалов, их расположение) вещественных алгебраических кривых и поверхностей.

• Статус: Частично решена. Первая часть (о кривых) решена для кривых малых степеней, но общая проблема остаётся открытой. Вторая часть (о поверхностях) также решена лишь частично. Существуют глубокие результаты (теорема Гудкова, работы В. И. Арнольда, Д. А. Гудкова, О. Я. Виро).

1. Представление определённых форм. Доказать, что всякий многочлен с вещественными коэффициентами, принимающий неотрицательные значения, может быть представлен в виде суммы квадратов рациональных функций.

• Статус: Решена. В 1927 году Эмиль Артин доказал, что это действительно так. Это стало одним из первых крупных результатов в области реальной алгебраической геометрии.

1. Замощение пространства. Существует ли многогранник, который не является параллелоэдром (не замощает пространство параллельными переносами), но может замостить пространство? Сколько существует типов замощений?

• Статус: Решена. Карл Рейнхардт (1928) нашёл пример такого многогранника. Позже были найдены и другие. Вопрос о числе типов замощений также решён (для трёхмерного пространства известно 5 типов параллелоэдров, открыт вопрос о невыпуклых замощениях).

Анализ и вариационное исчисление

1. Аналитичность решений вариационных задач. Являются ли решения регулярных вариационных задач обязательно аналитическими функциями?

• Статус: Решена. В 1904 году Сергей Бернштейн доказал, что решения аналитических вариационных задач являются аналитическими функциями. Позже Эннио де Джорджи и Джон Нэш (1957) доказали более общую теорему о гладкости решений эллиптических уравнений.

1. Общая задача Дирихле. Доказать, что краевая задача Дирихле для эллиптических уравнений всегда разрешима.

• Статус: Решена. В начале XX века была разработана теория потенциала и построены решения для широкого класса уравнений. Современная теория эллиптических уравнений (работы С. Л. Соболева, Л. Шварца, К. О. Фридрихса) даёт полное решение.

1. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии. По заданной группе монодромии построить линейное дифференциальное уравнение, имеющее эту группу.

• Статус: Решена. В 1950-х годах Ханс Рёрль и другие доказали, что это возможно (проблема Римана — Гильберта). Однако существуют ограничения (например, для некоторых групп монодромии решение не может быть фуксовым).

1. Униформизация аналитических функций. Доказать, что любую аналитическую функцию (многозначную) можно представить как отношение двух однозначных аналитических функций (автоморфных функций).

• Статус: Решена. В 1907 году Анри Пуанкаре и Пауль Кёбе независимо доказали общую теорему об униформизации. Это стало триумфом теории римановых поверхностей.

1. Развитие методов вариационного исчисления. Систематизировать и развить методы вариационного исчисления.

• Статус: Частично решена. Вариационное исчисление получило значительное развитие, были созданы теория управления, принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование. Однако проблема не имеет чёткого критерия «решённости», так как вариационное исчисление продолжает развиваться.

Влияние на науку

Проблемы Гильберта оказали глубокое влияние на развитие математики. Они не только стимулировали исследования в конкретных областях, но и способствовали формированию новых дисциплин (например, теории доказательств, теории полей классов, алгебраической геометрии). Решение некоторых проблем (например, 10-й и 2-й) привело к фундаментальным открытиям в логике и теории алгоритмов.

Список Гильберта также задал высокий стандарт для постановки научных проблем. В 2000 году Математический институт Клэя опубликовал список из семи «Проблем тысячелетия», по аналогии с проблемами Гильберта.

Критика и современное состояние

Некоторые проблемы Гильберта были сформулированы нестрого (например, 4-я и 6-я), что допускало различные интерпретации. Другие (например, 23-я) были скорее программой развития, чем конкретной задачей.

Несмотря на то, что большинство проблем решены, их наследие остаётся актуальным. Нерешённые проблемы (8-я, часть 16-й) продолжают привлекать внимание исследователей. Кроме того, сам подход Гильберта — постановка амбициозных, но достижимых целей — остаётся образцом для математического сообщества.

Источники

• Гильберт Д. Математические проблемы. — М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
• Александров П. С. Проблемы Гильберта. — М.: Наука, 1969.
• Брауэр Ф. (ред.) Математические проблемы Гильберта. — М.: Мир, 1969.
• Yandell B. H. The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. — A K Peters, 2002.