Медиана в статистике и её применение¶

Медиана — это значение признака, которое делит упорядоченную совокупность наблюдений на две равные по численности части: одна половина значений не превышает медиану, другая — не меньше неё. Наряду со средней арифметической и модой медиана относится к основным мерам центральной тенденции в статистике и теории вероятностей. В отличие от среднего, медиана устойчива к экстремальным значениям (выбросам), что делает её предпочтительной при анализе асимметричных распределений — например, доходов населения, цен на жильё или времени ожидания.

¶Определение и способы расчёта

Для упорядоченного по возрастанию ряда из n значений медиана определяется следующим образом:

• если n нечётно, медиана — это значение, стоящее ровно посередине: элемент с номером (n + 1) / 2;
• если n чётно, медиана — среднее арифметическое двух центральных значений: элементов с номерами n / 2 и n / 2 + 1.

Например, для ряда {3, 5, 7, 9, 11} медиана равна 7. Для ряда {3, 5, 7, 9} медиана равна (5 + 7) / 2 = 6.

Для интервального вариационного ряда медиану находят по формуле, использующей накопленные частоты: определяют медианный интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину общего числа наблюдений, а затем применяют линейную интерполяцию внутри этого интервала.

¶Свойства

Ключевые свойства медианы как статистической характеристики:

• Устойчивость к выбросам. Одно аномально большое или малое значение почти не влияет на медиану, тогда как среднее арифметическое может сместиться существенно.
• Минимум суммы модулей отклонений. Медиана минимизирует сумму абсолютных отклонений значений выборки от центра, тогда как среднее минимизирует сумму квадратов отклонений.
• Инвариантность к монотонным преобразованиям. Если ко всем значениям применить неубывающую функцию, медиана преобразуется той же функцией.
• Состоятельность и асимптотическая нормальность оценки медианы при росте объёма выборки — важное свойство для статистического вывода.

¶Медиана в генеральной совокупности

Для случайной величины медианой называют такое число m, что вероятность попадания значения ниже m не превышает 1/2 и вероятность попадания выше m также не превышает 1/2. Для непрерывного распределения с функцией распределения F(x) медиана есть решение уравнения F(m) = 1/2. Если распределение симметрично, медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Для асимметричных распределений эти характеристики расходятся.

¶Применение

Медиана широко используется в прикладной статистике и экономике:

• Уровень жизни. Медианный доход или медианная заработная плата точнее описывают типичный уровень благосостояния, чем средние показатели, которые завышаются из-за высоких доходов небольшой группы. В России Росстат публикует данные о медианной заработной плате и медианном доходе домохозяйств.
• Рынок недвижимости. Медианная цена квартиры или дома служит стандартным индикатором состояния рынка, поскольку единичные дорогие объекты искажают среднюю цену.
• Медицина и биология. Медианное время выживания, медианная продолжительность заболевания — устойчивые показатели в клинических исследованиях.
• Робастная статистика. Медиана — основа многих устойчивых оценок, например медианного абсолютного отклонения (MAD), используемого для оценки разброса.
• Теория игр и оптимизация. Задача о медиане (размещение объекта так, чтобы сумма расстояний была минимальна) применяется при планировании расположения складов, станций и сервисных центров.

¶Медиана и среднее: сравнение

Выбор между медианой и средним зависит от задачи: при симметричных распределениях без выбросов среднее информативнее, при сильной асимметрии медиана даёт более честную картину типичного значения.

¶История понятия

Идея использования срединного значения восходит к работам математиков XVIII века. Термин приобрёл статистический смысл в трудах учёных XIX столетия, занимавшихся обработкой наблюдений в астрономии и геодезии. Метод наименьших модулей, связанный с медианой, рассматривался как альтернатива методу наименьших квадратов. В XX веке с развитием робастной статистики медиана заняла центральное место среди устойчивых оценок положения.

¶Медиана в российском контексте

В российской статистической практике медианные показатели применяются при расчёте прожиточного минимума и оценке расслоения населения по доходам. Медианная заработная плата используется в методиках определения минимального размера оплаты труда и в анализе региональных различий. В научных и инженерных расчётах медианные фильтры применяются для подавления импульсных помех в сигналах и изображениях.

¶Родственные понятия

С медианой связаны квартили (делят ряд на четыре части), децили и процентили, а также медианное абсолютное отклонение. Обобщением служит квантиль произвольного уровня. В многомерном анализе аналогом выступает геометрическая медиана.

Источники: учебники по теории вероятностей и математической статистике, справочные материалы по описательной статистике, публикации Росстата о доходах населения.