Метрика Шварцшильда в общей теории относительности¶

Метрика Шварцшильда — это точное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна, описывающее гравитационное поле в вакууме вокруг сферически симметричного невращающегося массивного тела. Данное решение, найденное Карлом Шварцшильдом в 1916 году, является одной из фундаментальных моделей в физике и лежит в основе современного понимания чёрных дыр.

¶История открытия

Вскоре после публикации общей теории относительности в 1915 году Карл Шварцшильд, работая на Восточном фронте Первой мировой войны, нашёл первое точное решение уравнений поля Эйнштейна. Его работа была представлена Эйнштейном Прусской академии наук в январе 1916 года. Решение описывало внешнее гравитационное поле точечной массы и сразу продемонстрировало неожиданное следствие: существование радиуса, на котором метрика становится сингулярной. Сам Шварцшильд скончался в том же году от болезни, не дожив до признания значимости своего открытия.

¶Математическая форма

В сферических координатах \((t, r, \theta, \phi)\) интервал метрики Шварцшильда записывается как:

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 \]

где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса тела, \(c\) — скорость света, \(d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2\).

Ключевым параметром является гравитационный радиус (радиус Шварцшильда):

\[ r_s = \frac{2GM}{c^2} \]

Для Солнца \(r_s \approx 2{,}95\) км, для Земли — около 9 мм.

¶Физический смысл и свойства

Метрика Шварцшильда обладает следующими важными свойствами:

• Сферическая симметрия: решение не зависит от угловых координат.
• Статичность: метрика не зависит от времени \(t\).
• Асимптотическая плоскостность: на больших расстояниях (\(r \to \infty\)) метрика переходит в метрику Минковского.
• Сингулярности: при \(r = r_s\) компонента \(g_{tt}\) обращается в ноль, а \(g_{rr}\) — в бесконечность (координатная сингулярность, устранимая выбором других координат, например координат Эддингтона–Финкельштейна). При \(r = 0\) — физическая сингулярность, неустранимая.

Поверхность \(r = r_s\) называется горизонтом событий. Для внешнего наблюдателя ничто не может покинуть область внутри этого радиуса.

¶Применение и проверки

Метрика Шварцшильда используется для описания:

• Орбитального движения планет: объясняет аномальную прецессию перигелия Меркурия (43 угловые секунды за столетие).
• Отклонения света в гравитационном поле Солнца (проверено экспедицией Эддингтона в 1919 году).
• Гравитационного красного смещения — изменения частоты света в гравитационном поле.
• Замедления времени вблизи массивных объектов (учитывается в системах GPS).

¶Чёрные дыры Шварцшильда

Если масса тела сжата до размеров меньше \(r_s\), образуется чёрная дыра Шварцшильда — простейший тип чёрной дыры без заряда и вращения. Её свойства:

• Горизонт событий — сфера радиуса \(r_s\).
• Центральная сингулярность в точке \(r = 0\).
• Отсутствие вращения и электрического заряда (по теореме Биркгофа это единственное сферически симметричное вакуумное решение).

¶Ограничения модели

Метрика Шварцшильда описывает лишь невращающиеся незаряженные тела. Реальные астрофизические объекты вращаются, поэтому для них применяется более сложное решение Керра (1963), включающее вращение, и решение Рейсснера–Нордстрёма для заряженных тел. Кроме того, классическое решение не учитывает квантовые эффекты, такие как излучение Хокинга.

¶Значение

Метрика Шварцшильда стала первым точным решением уравнений Эйнштейна и остаётся важнейшим инструментом в астрофизике и теории гравитации. Она используется в исследованиях чёрных дыр, гравитационных линз, а также в тестах общей теории относительности. В 2019 году телескоп Event Horizon Telescope получил первое изображение тени чёрной дыры в галактике M87, которое хорошо согласуется с предсказаниями метрики Шварцшильда (с учётом вращения).

¶Источники

• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация», т. 3, 1977.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля», 1988.
• Шварцшильд К. «О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории», 1916.
• Wald R. M. «General Relativity», 1984.