Модель Хаббарда

Модель Хаббарда — это математическая модель в физике конденсированного состояния, описывающая движение электронов в кристаллической решётке с учётом их сильного кулоновского взаимодействия на одном узле. Модель была предложена британским физиком Джоном Хаббардом в 1963 году для объяснения свойств переходных металлов и их оксидов, в частности, явления металл-изоляторного перехода (перехода Мотта). Модель Хаббарда является одной из ключевых в теории сильно коррелированных систем и широко используется в физике твёрдого тела, квантовой химии и теории сверхпроводимости.

История

Предпосылки создания

К середине XX века стандартная теория зонной структуры твёрдых тел (основанная на приближении независимых электронов) успешно объясняла свойства многих металлов и полупроводников. Однако она не могла описать поведение веществ с сильными электронными корреляциями, таких как оксиды переходных металлов (например, NiO, CoO). В этих соединениях зонная теория предсказывала металлическую проводимость, тогда как экспериментально они являлись изоляторами. Это противоречие, известное как проблема Мотта, требовало новой модели, учитывающей взаимодействие между электронами.

Разработка модели

В 1963 году Джон Хаббард опубликовал серию статей, в которых предложил гамильтониан, описывающий электроны в решётке с двумя конкурирующими эффектами: кинетической энергией (перескоки между узлами) и энергией отталкивания при нахождении двух электронов на одном узле. Модель была названа «моделью Хаббарда» и стала основой для изучения сильно коррелированных систем. В 1970-х годах модель была обобщена на случай нескольких орбиталей (многоорбитальная модель Хаббарда) и включения спин-орбитального взаимодействия.

Современное состояние

Модель Хаббарда остаётся активно исследуемой. В 1986 году, после открытия высокотемпературной сверхпроводимости в купратах, интерес к ней резко возрос, поскольку она рассматривается как возможная минимальная модель для описания механизма сверхпроводимости в этих материалах. Несмотря на свою простоту, точное аналитическое решение модели Хаббарда в общем случае (двумерная и трёхмерная решётки) до сих пор не найдено, что делает её предметом интенсивных численных исследований.

Математическая формулировка

Гамильтониан

Модель Хаббарда задаётся гамильтонианом, который состоит из двух частей:

\[ H = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} (c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + \text{эрм. сопр.}) + U \sum_i n_{i\uparrow} n_{i\downarrow} \]

где:

• \( t \) — интеграл перескока (параметр кинетической энергии), характеризующий вероятность перехода электрона между соседними узлами \( i \) и \( j \);
• \( c_{i\sigma}^\dagger \) и \( c_{j\sigma} \) — операторы рождения и уничтожения электрона на узле \( i \) со спином \( \sigma \) (\(\uparrow\) или \(\downarrow\));
• \( U \) — энергия кулоновского отталкивания на одном узле (параметр взаимодействия);
• \( n_{i\sigma} = c_{i\sigma}^\dagger c_{i\sigma} \) — оператор числа электронов на узле \( i \) со спином \( \sigma \).

Первое слагаемое описывает кинетическую энергию (перескоки электронов между узлами), второе — энергию отталкивания, когда два электрона с противоположными спинами находятся на одном узле.

Параметры и фазовая диаграмма

Модель характеризуется двумя основными параметрами: \( t \) (энергия перескока) и \( U \) (энергия отталкивания). Отношение \( U/t \) определяет поведение системы. При \( U/t \ll 1 \) (слабое взаимодействие) система ведёт себя как металл, описываемый теорией зон. При \( U/t \gg 1 \) (сильное взаимодействие) электроны локализуются на узлах, и система становится изолятором (изолятор Мотта). Фазовая диаграмма модели Хаббарда также включает антиферромагнитное упорядочение при половинном заполнении (один электрон на узел) и возможные фазы, связанные с d-волновой сверхпроводимостью при допировании.

Классификация и варианты

По размерности решётки

• Одномерная модель Хаббарда: точно решаема методом Бете-анзаца (1970-е годы, работы Эллиота Либба и других). В одномерном случае модель демонстрирует явление спин-зарядового разделения (спиноны и холоны).
• Двумерная модель Хаббарда: наиболее актуальна для описания высокотемпературных сверхпроводников. Точное решение отсутствует, используются численные методы (квантовый метод Монте-Карло, метод точной диагонализации, DMRG).
• Трёхмерная модель Хаббарда: применяется для изучения переходных металлов и их оксидов, но менее изучена из-за вычислительной сложности.

По типу решётки

• Квадратная решётка: стандартная для купратных сверхпроводников.
• Гексагональная (треугольная) решётка: используется для описания материалов с геометрической фрустрацией (например, органических проводников).
• Решётка с беспорядком: модели, включающие случайные вариации параметров \( t \) или \( U \), для описания неупорядоченных систем.

Многоорбитальная модель Хаббарда

Включает несколько орбиталей на каждом узле (например, d-орбитали в переходных металлах). Гамильтониан обобщается с учётом межорбитального взаимодействия и обменного взаимодействия Хунда. Используется для описания оксидов марганца, железа и других материалов.

Применение

Металл-изоляторный переход

Модель Хаббарда является основной для описания перехода Мотта — перехода от металлического состояния к изоляторному при увеличении параметра \( U/t \). Этот переход наблюдается в таких материалах, как V₂O₃, NiS и органических проводниках (например, (BEDT-TTF)₂X).

Высокотемпературная сверхпроводимость

Считается, что двумерная модель Хаббарда на квадратной решётке при допировании (добавлении или удалении электронов) может описывать механизм d-волновой сверхпроводимости в купратах (например, YBa₂Cu₃O₇₋δ). Численные исследования показывают, что в определённой области параметров модель демонстрирует сверхпроводящую фазу, однако окончательное подтверждение этой гипотезы остаётся предметом дискуссий.

Квантовые точки и наноструктуры

Модель Хаббарда применяется для описания электронных свойств квантовых точек и искусственных атомов, где сильное кулоновское взаимодействие приводит к эффекту кулоновской блокады.

Холодные атомы в оптических решётках

Эксперименты с ультрахолодными атомами в оптических решётках позволяют реализовать модель Хаббарда с контролируемыми параметрами. В 2002 году группа Иммануэля Блоха впервые продемонстрировала переход Мотта в такой системе, что открыло новые возможности для квантового моделирования.

Методы решения

Точные методы

• Бете-анзац: даёт точное решение для одномерной модели Хаббарда с периодическими граничными условиями.
• Точная диагонализация: применяется для малых систем (до 20–30 узлов) с использованием компьютеров.

Приближённые методы

• Теория среднего поля (DMFT): динамическая теория среднего поля (Dynamical Mean-Field Theory) позволяет свести решёточную модель к эффективной примесной задаче. DMFT успешно описывает переход Мотта в трёхмерных системах.
• Квантовый метод Монте-Карло: используется для двумерных систем, но страдает от проблемы знака (sign problem) при определённых параметрах.
• Метод матрицы плотности (DMRG): эффективен для одномерных и квазиодномерных систем, даёт высокую точность.

Численные методы

• Вариационный метод Монте-Карло: основан на пробных волновых функциях (например, волновая функция Гутцвиллера).
• Метод функционала плотности (DFT+U): комбинация теории функционала плотности с поправкой на сильное взаимодействие, широко используется в материаловедении.

Критика и ограничения

Модель Хаббарда, несмотря на свою плодотворность, является упрощением реальных систем. Она не учитывает:

• дальнодействующее кулоновское взаимодействие (модель учитывает только отталкивание на одном узле);
• фононные моды и электрон-фононное взаимодействие;
• многоорбитальные эффекты в сложных материалах.

В некоторых случаях, например, для описания купратных сверхпроводников, может потребоваться расширение модели (модель Хаббарда с притяжением, модель t-J, модель Хаббарда-Холштейна). Кроме того, точное решение для двумерной и трёхмерной решёток отсутствует, что ограничивает предсказательную силу модели.

Интересные факты

• Джон Хаббард первоначально предложил модель для описания свойств никеля и его оксидов, но она нашла гораздо более широкое применение.
• В 2005 году за разработку теории сильно коррелированных систем, включая модель Хаббарда, была присуждена Нобелевская премия по физике (Роберт Лафлин, Хорст Штёрмер, Дэниел Цуи), хотя их работы были связаны с дробным квантовым эффектом Холла, а не напрямую с моделью Хаббарда.
• Модель Хаббарда является одной из немногих точно решаемых моделей в одномерном случае, что делает её важным тестовым полигоном для численных методов.

Источники

• Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. — 1963. — Vol. 276, no. 1365. — P. 238–257.
• Lieb E. H., Wu F. Y. Absence of Mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension // Physical Review Letters. — 1968. — Vol. 20, no. 25. — P. 1445–1448.
• Georges A., Kotliar G., Krauth W., Rozenberg M. J. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions // Reviews of Modern Physics. — 1996. — Vol. 68, no. 1. — P. 13–125.
• Dagotto E. Correlated electrons in high-temperature superconductors // Reviews of Modern Physics. — 1994. — Vol. 66, no. 3. — P. 763–840.
• Блох И. Квантовое моделирование с холодными атомами // Успехи физических наук. — 2005. — Т. 175, № 10. — С. 1093–1102.