Модель Кельвина-Фойгта

Модель Кельвина-Фойгта — это одна из простейших реологических моделей, описывающая вязкоупругое поведение материалов. Она представляет собой параллельное соединение упругого элемента (пружины, подчиняющейся закону Гука) и вязкого элемента (демпфера, или поршня в цилиндре с вязкой жидкостью, подчиняющегося закону Ньютона для вязкого течения). Модель названа в честь британского физика лорда Кельвина (Уильяма Томсона) и немецкого физика Вольдемара Фойгта, которые независимо друг от друга разработали её основы в XIX веке.

Основные положения и математическое описание

В модели Кельвина-Фойгта деформация обоих элементов (пружины и демпфера) одинакова в любой момент времени, а общее напряжение равно сумме напряжений в каждом элементе. Это принципиально отличает её от модели Максвелла, где элементы соединены последовательно.

Математически это выражается следующим образом:

• Напряжение в пружине (упругий элемент): σ₁ = E · ε, где E — модуль упругости (модуль Юнга), ε — деформация.
• Напряжение в демпфере (вязкий элемент): σ₂ = η · dε/dt, где η — коэффициент вязкости, dε/dt — скорость деформации.
• Общее напряжение: σ = σ₁ + σ₂ = E · ε + η · (dε/dt).

Это дифференциальное уравнение первого порядка является определяющим для модели Кельвина-Фойгта. Оно описывает, как напряжение зависит от деформации и скорости её изменения.

Поведение при различных режимах нагружения

Ползучесть (Creep)

Ползучесть — это процесс увеличения деформации во времени под действием постоянного напряжения. Для модели Кельвина-Фойгта при приложении постоянного напряжения σ₀ в момент времени t=0 решение уравнения имеет вид:

ε(t) = (σ₀ / E) · [1 — exp(-t / τ)],

где τ = η / E — время релаксации (характерное время запаздывания).

Из этого уравнения следует, что деформация не возникает мгновенно, а нарастает экспоненциально, стремясь к равновесному значению ε∞ = σ₀ / E. При снятии нагрузки (σ=0) деформация также экспоненциально убывает до нуля, что соответствует полному восстановлению формы. Это свойство называется упругим последействием. Модель предсказывает, что при ползучести материал не проявляет мгновенной упругости и не имеет остаточной деформации после полного снятия нагрузки.

Релаксация напряжений (Stress Relaxation)

Релаксация напряжений — это процесс уменьшения напряжения во времени при поддержании постоянной деформации. Для модели Кельвина-Фойгта при мгновенном приложении постоянной деформации ε₀ в момент t=0, согласно уравнению, напряжение должно быть бесконечно большим, так как скорость деформации в начальный момент бесконечна. В реальных условиях это означает, что модель не может описать релаксацию напряжений, так как для поддержания постоянной деформации требуется бесконечное начальное напряжение. На практике это интерпретируется как то, что модель Кельвина-Фойгта не описывает релаксацию напряжений в классическом понимании.

Динамическое нагружение

При гармоническом (циклическом) нагружении модель Кельвина-Фойгта демонстрирует характерные вязкоупругие свойства. Комплексный модуль упругости (модуль, учитывающий как упругие, так и вязкие потери) определяется как:

E* = E + i · ω · η,

где ω — угловая частота колебаний, i — мнимая единица.

Действительная часть (E) соответствует упругой составляющей (модуль накопления), а мнимая часть (ωη) — вязкой составляющей (модуль потерь). Модель предсказывает, что с увеличением частоты вязкие потери растут линейно, а упругая составляющая остаётся постоянной. Это качественно согласуется с поведением многих реальных материалов, но не учитывает частотную зависимость самого модуля упругости.

Применение и ограничения

Области применения

Модель Кельвина-Фойгта широко используется для описания поведения материалов, которые проявляют ярко выраженное упругое последействие и ползучесть, но не имеют значительной релаксации напряжений. Основные области применения:

• Полимеры и эластомеры: Модель хорошо описывает вязкоупругое поведение многих полимеров, особенно в области небольших деформаций и при низких частотах нагружения. Она используется для анализа ползучести резин, пластмасс и гелей.
• Биологические ткани: Модель применяется для описания вязкоупругих свойств мягких тканей, таких как кожа, мышцы, хрящи и связки. Она позволяет моделировать их поведение при длительном нагружении.
• Геологические материалы: В геомеханике модель Кельвина-Фойгта используется для описания ползучести горных пород, грунтов и льда. Она помогает прогнозировать деформации оснований зданий и сооружений во времени.
• Композитные материалы: Модель может быть использована для описания вязкоупругого поведения матрицы в композитах, особенно при анализе ползучести.
• Пищевая промышленность: Модель применяется для описания реологических свойств таких продуктов, как тесто, желе, сыры и другие вязкоупругие материалы.

Ограничения

Основные ограничения модели Кельвина-Фойгта связаны с её простотой:

• Отсутствие мгновенной упругости: Модель не предсказывает мгновенную упругую деформацию при приложении нагрузки, что характерно для многих реальных материалов.
• Неспособность описывать релаксацию напряжений: Как указано выше, модель не может адекватно описать процесс релаксации напряжений, что является серьёзным недостатком для многих приложений.
• Линейность: Модель является линейной, то есть предполагает, что вязкость и упругость не зависят от деформации и скорости деформации. Для многих реальных материалов это неверно, особенно при больших деформациях.
• Отсутствие учёта пластичности: Модель описывает только вязкоупругое поведение и не учитывает пластические (необратимые) деформации.

Связь с другими моделями

Модель Кельвина-Фойгта является одной из базовых в реологии. Для более точного описания реальных материалов часто используют комбинации простых моделей:

• Модель Максвелла: Последовательное соединение пружины и демпфера. Она хорошо описывает релаксацию напряжений, но плохо — ползучесть.
• Стандартная линейная твёрдая модель (модель Зенера): Состоит из модели Кельвина-Фойгта, соединённой последовательно с дополнительной пружиной. Эта модель лишена недостатков обеих простых моделей и описывает как ползучесть, так и релаксацию напряжений, а также мгновенную упругость.
• Обобщённая модель Кельвина-Фойгта: Представляет собой последовательное соединение нескольких моделей Кельвина-Фойгта с различными временами релаксации. Это позволяет описывать более сложные спектры релаксации.

Интересные факты

• Модель Кельвина-Фойгта также известна как модель Фойгта или модель Кельвина. В русскоязычной литературе часто используется название «модель Кельвина-Фойгта», подчёркивая вклад обоих учёных.
• Лорд Кельвин (Уильям Томсон) внёс фундаментальный вклад в термодинамику и электродинамику, а Вольдемар Фойгт известен своими работами в кристаллофизике и теории упругости. Их совместная работа в области реологии стала важным этапом в развитии механики сплошных сред.
• Модель Кельвина-Фойгта является частным случаем более общей модели вязкоупругости, описываемой интегральными соотношениями Больцмана.

Источники

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир, 1982.
2. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. — Рига: Зинатне, 1980.
3. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.
4. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. — М.: Наука, 1979.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.