Модуль числа — понятие и свойства¶
Модуль числа — неотрицательное число, числовое значение числа без учёта его знака. Модуль числа a обозначается |a| или a (в вертикальных чертах) и определяется так: для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, для отрицательного числа модуль равен этому числу, взятому с противоположным знаком.
¶Определение
Формально модуль действительного числа a определяется выражением:
|a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0.
Например, |5| = 5, |−3| = 3, |0| = 0. Модуль числа всегда неотрицателен: |a| ≥ 0 для любого действительного a, причём |a| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.
Геометрический смысл модуля связан с положением точки на числовой прямой: модуль числа a равен расстоянию от точки a до начала отсчёта (точки 0). Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль неотрицателен по определению.
¶Основные свойства
Модуль обладает рядом свойств, важных для алгебры и анализа:
- Неотрицательность: |a| ≥ 0, причём равенство достигается только при a = 0.
- Произведение: |a · b| = |a| · |b| для любых действительных a и b.
- Частное: |a / b| = |a| / |b| при b ≠ 0.
- Степень: |aⁿ| = |a|ⁿ для целого n.
- Неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|. Это одно из важнейших свойств модуля, оно обобщается на случай произвольного числа слагаемых: |a₁ + a₂ + … + aₙ| ≤ |a₁| + |a₂| + … + |aₙ|.
- Разность модулей: ||a| − |b|| ≤ |a − b|.
Свойство |a + b| ≤ |a| + |b| называют неравенством треугольника, поскольку оно отражает неравенство сторон треугольника в геометрии: сумма длин двух сторон не меньше длины третьей.
¶Решение неравенств с модулем
Задачи на снятие модуля и решение неравенств с модулем — стандартный раздел школьного курса алгебры. Основные приёмы:
- Неравенство |f(x)| < a (при a > 0) равносильно системе −a < f(x) < a.
- Неравенство |f(x)| > a (при a > 0) равносильно объединению двух неравенств: f(x) < −a или f(x) > a.
- Неравенство |f(x)| ≤ a равносильно −a ≤ f(x) ≤ a.
Для уравнений: |f(x)| = a (при a ≥ 0) равносильно паре уравнений f(x) = a или f(x) = −a. При a < 0 уравнение |f(x)| = a не имеет решений, поскольку модуль неотрицателен.
¶Модуль комплексного числа
Понятие модуля распространяется на комплексные числа. Если z = a + bi — комплексное число, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, то его модуль определяется как:
|z| = √(a² + b²).
Геометрически |z| равно расстоянию от точки (a, b) на комплексной плоскости до начала координат. Для комплексных чисел выполняется свойство |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| и неравенство треугольника |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|. Связь между числом и его модулем выражается формулой z · z̄ = |z|², где z̄ — комплексно сопряжённое число.
¶Модуль вектора
В векторной алгебре под модулем (длиной, нормой) вектора понимают его длину — неотрицательное число, характеризующее величину вектора. Модуль вектора a обозначается |a| или ‖a‖. В декартовой системе координат модуль вектора a = (a₁, a₂, a₃) вычисляется по формуле |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Для произведения векторов выполняется неравенство |a · b| ≤ |a| · |b| (неравенство Коши — Буняковского).
¶Применение
Модуль числа применяется во многих разделах математики и смежных дисциплинах:
- Математический анализ: определение непрерывности функции через ε-δ-критерий использует неравенства с модулем: |f(x) − f(x₀)| < ε при |x − x₀| < δ.
- Теория чисел: функция |a| играет роль абсолютной величины в кольце целых чисел.
- Линейная алгебра: понятие нормы вектора (обобщение модуля) лежит в основе метрических пространств.
- Физика и инженерия: модуль используется для описания амплитуд колебаний, величин напряжений и других физических величин, которые задаются знакопеременными значениями.
¶История
Символ |a| для обозначения модуля был предложен немецким математиком Карлом Вейерштрассом в 1841 году. До появления этого обозначения использовались различные словесные формулировки, например «величина числа» или «абсолютная величина». Термин «модуль» происходит от латинского modulus — «мера».
¶История источники
- Курант Р., Роббинс Г. «Что такое математика»
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Алгебра»
- Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисление»