Неравенства Белла

Неравенства Белла — это математические соотношения, выведенные в квантовой механике, которые позволяют экспериментально проверить, может ли теория скрытых параметров (локальный реализм) описывать квантово-механические предсказания для запутанных частиц. Впервые сформулированы ирландским физиком Джоном Стюартом Беллом в 1964 году. Нарушение неравенств Белла в экспериментах свидетельствует в пользу квантовой механики и против локального реализма, что имеет фундаментальное значение для понимания природы физической реальности.

История

Предыстория: парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена

В 1935 году Альберт Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен опубликовали статью, в которой указали на кажущуюся неполноту квантовой механики. Они рассмотрели систему из двух частиц, находящихся в запутанном состоянии: измерение свойства одной частицы мгновенно определяет состояние другой, независимо от расстояния между ними. Эйнштейн назвал это «жутким дальнодействием» и предположил, что квантовая механика неполна, а частицы обладают скрытыми параметрами, которые предопределяют результаты измерений, но не учитываются теорией.

Вывод Белла

В 1964 году Джон Белл, работавший в ЦЕРНе, опубликовал статью «О парадоксе Эйнштейна — Подольского — Розена». Он показал, что любая теория скрытых параметров, удовлетворяющая условию локальности (результат измерения в одной точке не может мгновенно влиять на результат в другой), приводит к определённым статистическим ограничениям — неравенствам. Квантовая механика, напротив, предсказывает нарушение этих неравенств для некоторых конфигураций измерений. Таким образом, Белл предложил экспериментальный критерий для проверки: если неравенства нарушаются, то локальный реализм неверен.

Экспериментальная проверка

Первые эксперименты по проверке неравенств Белла были проведены в 1972 году Джоном Клаузером и Стюартом Фридманом (США). Они использовали запутанные фотоны и показали нарушение неравенств, хотя с некоторыми методическими оговорками. В 1982 году Ален Аспе (Франция) провёл более точные эксперименты, устранив ряд лазеек (например, лазейку локальности, связанную с возможностью обмена информацией на скорости света). В 2015 году были одновременно проведены эксперименты, закрывшие все основные лазейки (в том числе лазейку выбора и лазейку детектирования), что окончательно подтвердило нарушение неравенств Белла. За эти работы Клаузер, Аспе и Антон Цайлингер получили Нобелевскую премию по физике в 2022 году.

Математическая формулировка

Исходная форма (неравенство Белла для бинарных переменных)

Рассмотрим две частицы, которые разлетаются в противоположные стороны. На каждой частице можно измерить одну из двух величин (например, проекцию спина на одну из двух осей), которые принимают значения +1 или −1. Обозначим результаты измерений для первой частицы как \(A(a)\) и \(A(a')\), для второй — как \(B(b)\) и \(B(b')\), где \(a, a'\) — углы ориентации измерительного прибора для первой частицы, а \(b, b'\) — для второй. В теории локального реализма предполагается, что результаты предопределены скрытыми параметрами и не зависят от выбора измерений на другой частице.

Белл показал, что для любой такой теории выполняется неравенство: \[ |E(a,b) - E(a,b')| + |E(a',b) + E(a',b')| \leq 2, \] где \(E(a,b)\) — математическое ожидание произведения результатов \(A(a)B(b)\) (корреляционная функция). Квантовая механика для запутанного синглетного состояния предсказывает \(E(a,b) = -\cos(\theta)\), где \(\theta\) — угол между осями \(a\) и \(b\). При подстановке определённых углов (например, \(a=0^\circ, a'=45^\circ, b=22.5^\circ, b'=67.5^\circ\)) левая часть неравенства принимает значение \(2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2\), что означает нарушение неравенства.

Обобщения

Существуют различные формы неравенств Белла, адаптированные для разных экспериментальных ситуаций:

• Неравенство CHSH (Клаузер — Хорн — Шимони — Холт): наиболее часто используемая форма для экспериментов с фотонами. Имеет вид:

\[ |E(a,b) - E(a,b')| + |E(a',b) + E(a',b')| \leq 2. \]

• Неравенство Харди: основано на предсказании определённых вероятностей, а не корреляций.
• Неравенство Цирельсона: квантово-механический предел для левой части CHSH равен \(2\sqrt{2}\), что превышает классический предел 2.

Физический смысл

Локальный реализм

Неравенства Белла проверяют совместность двух принципов:

• Реализм: физические свойства системы существуют независимо от измерения.
• Локальность: результат измерения в одной точке не может мгновенно влиять на результат в другой точке (отсутствие сверхсветового взаимодействия).

Нарушение неравенств означает, что по крайней мере один из этих принципов не выполняется в квантовом мире. Большинство физиков интерпретируют это как отказ от локальности: квантовая механика нелокальна, но не допускает передачи информации быстрее скорости света (теорема о запрете клонирования и отсутствие сигнализации).

Квантовая запутанность

Неравенства Белла являются прямым следствием квантовой запутанности. Запутанные частицы не имеют независимых состояний: измерение одной мгновенно определяет состояние другой. Нарушение неравенств демонстрирует, что корреляции между запутанными частицами сильнее, чем любые корреляции, возможные в классической теории скрытых параметров.

Экспериментальные реализации

Типичная установка

Эксперимент по проверке неравенств Белла обычно включает:

1. Источник запутанных частиц: например, спонтанное параметрическое рассеяние (SPDC) для фотонов или атомные системы.
2. Два детектора, расположенных на расстоянии друг от друга. Каждый детектор может измерять одну из двух поляризаций (или спинов) в зависимости от случайно выбранного угла.
3. Систему синхронизации для обеспечения того, что выбор углов производится после разделения частиц (чтобы закрыть лазейку локальности).

Основные лазейки

• Лазейка локальности: если детекторы расположены слишком близко, возможен обмен информацией со скоростью света. Закрывается размещением детекторов на расстоянии, превышающем время, необходимое для передачи сигнала.
• Лазейка выбора: если выбор углов измерения не является случайным, возможна подгонка результатов. Закрывается использованием квантовых генераторов случайных чисел.
• Лазейка детектирования: если не все частицы регистрируются, возможна статистическая подгонка. Закрывается использованием высокоэффективных детекторов (например, сверхпроводящих нанопроволочных детекторов).

Результаты

Все эксперименты, проведённые с закрытием всех лазеек (например, эксперимент Делфтского университета 2015 года, эксперимент группы Антона Цайлингера 2015 года), показали нарушение неравенств Белла со статистической значимостью более 5 стандартных отклонений. Это считается окончательным экспериментальным доказательством несостоятельности локального реализма.

Значение и применение

Фундаментальная физика

Неравенства Белла являются краеугольным камнем квантовой теории. Они подтверждают, что квантовая механика не может быть заменена локальной реалистической теорией (например, теорией скрытых параметров). Это имеет глубокие философские последствия: природа на квантовом уровне нелокальна, а реальность не является независимой от наблюдателя в классическом смысле.

Квантовые технологии

Нарушение неравенств Белла лежит в основе ряда квантовых технологий:

• Квантовая криптография: использование запутанных состояний для обеспечения безопасности связи. Если злоумышленник пытается перехватить информацию, это нарушает запутанность и приводит к выполнению неравенств Белла, что обнаруживается.
• Квантовая телепортация: передача квантового состояния с помощью запутанной пары и классического канала. Телепортация основана на корреляциях, описываемых неравенствами Белла.
• Квантовые вычисления: некоторые алгоритмы (например, алгоритм Шора) используют запутанность, которая может быть проверена через неравенства Белла.

Философские аспекты

Неравенства Белла вызвали широкую дискуссию о природе реальности, причинности и роли наблюдателя. Они опровергают идею «локального реализма», но оставляют открытым вопрос о том, какой аспект (локальность или реализм) нарушается. Некоторые интерпретации квантовой механики (например, копенгагенская, многомировая, де Бройля — Бома) по-разному трактуют это нарушение.

Критика и альтернативные интерпретации

Теории скрытых параметров

Хотя неравенства Белла опровергают локальные теории скрытых параметров, существуют нелокальные теории (например, теория де Бройля — Бома), которые согласуются с квантовой механикой. Однако они постулируют нелокальность, что противоречит принципу локальности специальной теории относительности.

Сомнения в экспериментах

Некоторые исследователи (например, сторонники супердетерминизма) утверждают, что все эксперименты могут быть объяснены, если предположить, что выбор углов измерения не является по-настоящему случайным. Однако это требует отказа от общепринятых представлений о случайности и не имеет экспериментальных подтверждений.

Статус в РФ

В России неравенства Белла изучаются в рамках квантовой физики. Исследования проводятся в таких организациях, как Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН (ФИАН), Российский квантовый центр и Московский государственный университет. Политических или правовых ограничений на изучение неравенств Белла в РФ нет.

Источники

• Bell, J. S. (1964). «On the Einstein Podolsky Rosen paradox». Physics Physique Fizika, 1(3), 195–200.
• Aspect, A., Grangier, P., & Roger, G. (1982). «Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities». Physical Review Letters, 49(2), 91–94.
• Hensen, B., et al. (2015). «Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres». Nature, 526(7575), 682–686.
• Giustina, M., et al. (2015). «Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons». Physical Review Letters, 115(25), 250401.
• Клаузер, Дж., Шимони, А. (1978). «Неравенства Белла: экспериментальные проверки и следствия». Успехи физических наук, 126(1), 103–136.