Неравенство CHSH

Неравенство CHSH — это математическое неравенство, используемое в квантовой физике для проверки выполнения принципа локального реализма. Оно является обобщением неравенств Белла, предложенное Джоном Клаузером, Майклом Хорном, Абнером Шимони и Ричардом Холтом в 1969 году. Неравенство CHSH определяет верхнюю границу для корреляций между измерениями, проводимыми над двумя разделёнными частицами, если предположить, что результаты измерений предопределены скрытыми параметрами и не зависят друг от друга (локальность). Нарушение неравенства CHSH в экспериментах свидетельствует в пользу квантовой запутанности и нелокальности квантовой механики.

История

Предпосылки

В 1935 году Альберт Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен сформулировали парадокс ЭПР, поставивший под сомнение полноту квантовой механики. Они предположили, что квантовое описание неполно, и существуют скрытые параметры, которые определяют результаты измерений. В 1964 году Джон Белл вывел неравенство, позволяющее экспериментально проверить, выполняется ли локальный реализм в квантовых системах. Однако первоначальное неравенство Белла требовало идеальных условий эксперимента, что было трудно реализовать на практике.

Разработка CHSH

В 1969 году Джон Клаузер, Майкл Хорн, Абнер Шимони и Ричард Холт опубликовали статью, в которой предложили обобщённое неравенство, названное впоследствии CHSH. Оно было разработано для практических экспериментов с фотонами и учитывало неидеальность детекторов и другие экспериментальные ограничения. Неравенство CHSH стало основой для первых экспериментальных проверок квантовой нелокальности, проведённых в 1970-х годах.

Экспериментальные проверки

Первые эксперименты по проверке неравенства CHSH были выполнены в 1972 году Джоном Клаузером и Стюартом Фридманом. Они использовали пары фотонов, испускаемых атомами кальция, и показали нарушение неравенства, что подтвердило предсказания квантовой механики. В 1982 году Ален Аспе провёл более точные эксперименты с переключением поляризаторов, исключив возможные лазейки, связанные с локальностью. В 2015 году были проведены эксперименты, закрывающие все основные лазейки (локальности, справедливой выборки и свободы выбора), что окончательно подтвердило нарушение неравенства CHSH.

Математическая формулировка

Определение

Неравенство CHSH записывается для двух наблюдателей, Алисы и Боба, каждый из которых может проводить измерения по двум различным настройкам (например, направлениям поляризации). Обозначим настройки Алисы как \(a\) и \(a'\), а настройки Боба как \(b\) и \(b'\). Результаты измерений принимают значения \(+1\) или \(-1\). Корреляция между результатами для заданных настроек определяется как математическое ожидание произведения результатов:

\[ E(a, b) = \langle A(a) B(b) \rangle \]

где \(A(a)\) — результат измерения Алисы при настройке \(a\), \(B(b)\) — результат измерения Боба при настройке \(b\).

Неравенство

Неравенство CHSH утверждает, что для любой теории локального реализма выполняется:

\[ |S| \leq 2 \]

где \(S\) — комбинация корреляций:

\[ S = E(a, b) - E(a, b') + E(a', b) + E(a', b') \]

Знак минус перед вторым членом может быть заменён на плюс в зависимости от выбора знаков, но общая форма неравенства остаётся инвариантной.

Квантово-механическое предсказание

В квантовой механике для максимально запутанного состояния (например, синглетного состояния двух частиц со спином 1/2) значение \(S\) может достигать \(2\sqrt{2} \approx 2.828\). Это превышает классический предел 2, что и является нарушением неравенства CHSH. Таким образом, квантовая механика предсказывает, что для некоторых измерений корреляции превышают локально-реалистический предел.

Физическая интерпретация

Локальный реализм

Неравенство CHSH основано на двух предположениях:

• Реализм: результаты измерений существуют до самого измерения и определяются скрытыми параметрами.
• Локальность: результат измерения одной частицы не зависит от настройки измерительного прибора другой частицы, если они разделены пространственно-подобным интервалом.

Нарушение неравенства CHSH означает, что по крайней мере одно из этих предположений неверно. В квантовой механике это интерпретируется как нелокальность — взаимосвязь между частицами, которая не может быть объяснена локальными скрытыми параметрами.

Квантовая запутанность

Нарушение неравенства CHSH является прямым свидетельством квантовой запутанности. Запутанные частицы демонстрируют корреляции, которые превышают любые возможные классические корреляции. Это свойство лежит в основе квантовой криптографии, квантовой телепортации и квантовых вычислений.

Применение

Проверка квантовой механики

Неравенство CHSH используется как тест на квантовую нелокальность. Эксперименты, демонстрирующие его нарушение, подтверждают предсказания квантовой механики и опровергают теории локального реализма. Это имеет фундаментальное значение для понимания природы реальности.

Квантовая криптография

В протоколах квантового распределения ключей, таких как E91 (разработанный Артуром Экертом), неравенство CHSH используется для обнаружения подслушивания. Если злоумышленник пытается перехватить квантовое состояние, это нарушает запутанность и приводит к уменьшению значения \(S\), что сигнализирует о нарушении безопасности.

Квантовые вычисления

Неравенство CHSH применяется для характеризации запутанности в квантовых системах. Оно используется в тестах на квантовое превосходство и в верификации квантовых схем. Например, в протоколах самосертификации случайных чисел (self-testing) неравенство CHSH позволяет убедиться, что квантовое устройство действительно генерирует истинно случайные числа.

Критика и ограничения

Лазейки

Несмотря на многочисленные экспериментальные подтверждения, существуют теоретические лазейки, которые могут позволить локально-реалистическим теориям объяснить результаты:

• Лазейка справедливой выборки: если детекторы не регистрируют все фотоны, результаты могут быть смещены.
• Лазейка локальности: если настройки измерительных приборов меняются недостаточно быстро, возможна передача информации между частицами.
• Лазейка свободы выбора: если настройки не являются независимыми от скрытых параметров, возможны корреляции.

Современные эксперименты (например, с использованием космических источников случайности) закрывают большинство этих лазеек.

Интерпретации

Нарушение неравенства CHSH не указывает на конкретную интерпретацию квантовой механики. Оно совместимо с копенгагенской интерпретацией, многомировой интерпретацией, интерпретацией де Бройля — Бома и другими. Выбор интерпретации остаётся предметом философских и научных дискуссий.

Интересные факты

• Неравенство CHSH названо по первым буквам фамилий авторов: Клаузер, Хорн, Шимони, Холт. Джон Клаузер получил Нобелевскую премию по физике в 2022 году за эксперименты с запутанными фотонами, включая проверку неравенства CHSH.
• Максимальное квантовое значение \(S = 2\sqrt{2}\) называется границой Цирельсона, по имени физика Бориса Цирельсона, который доказал, что это максимально возможное значение для квантовой механики.
• Неравенство CHSH используется в квантовых играх, таких как игра CHSH, где два игрока могут выиграть с вероятностью выше классической, используя запутанные состояния.

Источники

• Clauser, J. F., Horne, M. A., Shimony, A., & Holt, R. A. (1969). Proposed experiment to test local hidden-variable theories. Physical Review Letters, 23(15), 880–884.
• Bell, J. S. (1964). On the Einstein Podolsky Rosen paradox. Physics Physique Физика, 1(3), 195–200.
• Aspect, A., Dalibard, J., & Roger, G. (1982). Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers. Physical Review Letters, 49(25), 1804–1807.
• Hensen, B., et al. (2015). Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 km. Nature, 526(7575), 682–686.
• Цирельсон, Б. С. (1980). Квантовые обобщения неравенств Белла. Письма в ЖЭТФ, 32(6), 415–418.