Факторгруппа

Факторгруппа (также фактор-группа, частное группы по нормальной подгруппе) — в общей алгебре, группа, образованная смежными классами данной группы по её нормальной подгруппе, с операцией, индуцированной групповой операцией исходной группы. Факторгруппа является фундаментальным понятием теории групп, позволяющим сводить изучение сложных групп к более простым, а также устанавливать связи между различными группами посредством гомоморфизмов.

Определение

Пусть \(G\) — группа, а \(N\) — её нормальная подгруппа (обозначение: \(N \triangleleft G\)). Это означает, что для любого элемента \(g \in G\) выполняется \(gNg^{-1} = N\). Множество всех левых смежных классов \(G\) по \(N\) обозначается \(G/N\):

\[ G/N = \{ gN \mid g \in G \} \]

На этом множестве вводится бинарная операция, называемая умножением смежных классов:

\[ (g_1 N) \cdot (g_2 N) = (g_1 g_2) N \]

Корректность этого определения (независимость результата от выбора представителей) гарантируется нормальностью подгруппы \(N\). Множество \(G/N\) с такой операцией образует группу, которая и называется факторгруппой \(G\) по \(N\).

Свойства факторгруппы

• Единичный элемент: смежный класс \(N = eN\), где \(e\) — единица группы \(G\).
• Обратный элемент: \((gN)^{-1} = g^{-1}N\).
• Порядок: если \(G\) конечна, то \(|G/N| = |G| / |N|\) (теорема Лагранжа).
• Абелевость: если \(G\) абелева, то факторгруппа по любой подгруппе абелева. Обратное неверно: неабелева группа может иметь абелеву факторгруппу (например, знакопеременная группа \(A_n\) является нормальной подгруппой симметрической группы \(S_n\), и факторгруппа \(S_n/A_n\) изоморфна циклической группе порядка 2, которая абелева).

История

Понятие факторгруппы возникло в рамках теории групп в XIX веке. Основополагающий вклад внесли:

• Эварист Галуа (1811–1832) — в своих работах по разрешимости алгебраических уравнений в радикалах фактически использовал факторгруппы по нормальным подгруппам (теперь называемым «подгруппами Галуа»), хотя формального определения не дал.
• Камиль Жордан (1838–1922) — в трактате «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» (1870) систематизировал теорию групп и ввёл понятие «частного» (факторгруппы) для конечных групп.
• Отто Гёльдер (1859–1937) — в 1889 году сформулировал теорему о факторизации, ставшую частью теоремы Жордана — Гёльдера, и дал современное определение факторгруппы.
• Эмми Нётер (1882–1935) — в начале XX века обобщила понятие на абстрактные группы и установила связь с гомоморфизмами (теоремы об изоморфизме).

Связь с гомоморфизмами

Факторгруппа тесно связана с гомоморфизмами групп. Естественное отображение \(\pi: G \to G/N\), задаваемое формулой \(\pi(g) = gN\), является сюръективным гомоморфизмом, ядро которого равно \(N\). Этот гомоморфизм называется канонической проекцией.

Основная теорема о гомоморфизме (первая теорема об изоморфизме)

Если \(\varphi: G \to H\) — гомоморфизм групп, то ядро \(\ker \varphi\) является нормальной подгруппой \(G\), и факторгруппа \(G / \ker \varphi\) изоморфна образу \(\varphi(G)\):

\[ G / \ker \varphi \cong \varphi(G) \]

Эта теорема позволяет строить факторгруппы как «копии» образов гомоморфизмов, и наоборот — любой сюръективный гомоморфизм задаёт факторгруппу.

Примеры

Целые числа по модулю \(n\)

Группа \(( \mathbb{Z}, + )\) — аддитивная группа целых чисел. Подгруппа \(n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \}\) является нормальной (все подгруппы абелевой группы нормальны). Факторгруппа \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) состоит из смежных классов \(a + n\mathbb{Z}\), где \(a \in \{0, 1, \dots, n-1\}\). Эта факторгруппа изоморфна циклической группе порядка \(n\), обозначаемой \(\mathbb{Z}_n\) или \(C_n\).

Симметрическая группа \(S_n\) по знакопеременной \(A_n\)

Группа \(S_n\) (перестановки \(n\) элементов) имеет нормальную подгруппу \(A_n\) (чётные перестановки). Факторгруппа \(S_n / A_n\) состоит из двух смежных классов: \(A_n\) (чётные) и \((1\;2) A_n\) (нечётные). Она изоморфна циклической группе порядка 2, \(\mathbb{Z}_2\).

Группа вещественных чисел по модулю 1

Рассмотрим аддитивную группу вещественных чисел \((\mathbb{R}, +)\) и её подгруппу целых чисел \((\mathbb{Z}, +)\). Факторгруппа \(\mathbb{R} / \mathbb{Z}\) изоморфна окружности \(S^1\) (как топологическая группа) — каждому смежному классу соответствует точка на единичной окружности, а сложение классов соответствует сложению углов по модулю \(2\pi\).

Группа матриц по центру

Группа обратимых матриц \(GL_n(\mathbb{R})\) (общая линейная группа) имеет центр \(Z(G)\), состоящий из скалярных матриц \(\lambda I\), \(\lambda \neq 0\). Факторгруппа \(GL_n(\mathbb{R}) / Z(G)\) называется проективной линейной группой \(PGL_n(\mathbb{R})\) и играет важную роль в геометрии и теории представлений.

Классификация и виды

Факторгруппы классифицируются по свойствам исходной группы и нормальной подгруппы:

• Циклические факторгруппы — факторгруппа является циклической группой (например, \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\)).
• Абелевы факторгруппы — факторгруппа абелева, даже если исходная группа неабелева (например, \(S_n / A_n\)).
• Конечные и бесконечные — в зависимости от порядка факторгруппы.
• Факторгруппы по коммутанту — факторгруппа \(G / [G, G]\) (где \([G, G]\) — коммутант) всегда абелева и называется абелианизацией группы \(G\).

Применение

Факторгруппы широко используются в различных разделах математики:

• Теория групп: построение композиционных рядов (теорема Жордана — Гёльдера), классификация конечных простых групп, изучение разрешимых и нильпотентных групп.
• Алгебраическая топология: фундаментальная группа факторпространства, гомологии и когомологии (факторгруппы цепей по границам).
• Теория Галуа: факторгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения (основная теорема теории Галуа).
• Криптография: в криптосистемах на основе эллиптических кривых и решёток используются факторгруппы.
• Физика: в теории представлений групп Ли (например, группа \(SO(3)\) — факторгруппа \(SU(2)\) по центру) и в квантовой механике (факторгруппы по дискретным симметриям).

Интересные факты

• Понятие факторгруппы является частным случаем более общего понятия фактор-объекта в универсальной алгебре (фактор-алгебра, фактор-кольцо, фактор-модуль).
• Для конечных групп порядок факторгруппы всегда делит порядок исходной группы (теорема Лагранжа).
• Не всякая подгруппа является нормальной, поэтому не для любой подгруппы можно построить факторгруппу. Например, в симметрической группе \(S_3\) подгруппа \(\{e, (1\;2)\}\) не нормальна, и факторгруппа по ней не определена.
• Факторгруппа \(\mathbb{R} / \mathbb{Q}\) (вещественные числа по рациональным) имеет мощность континуума, но её структура крайне сложна и не поддаётся явному описанию без аксиомы выбора.

Источники

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
• Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2000.
• Dummit D. S., Foote R. M. Abstract Algebra. — 3rd ed. — Wiley, 2004.