Группа Галуа

Группа Галуа — это фундаментальное понятие теории Галуа, раздела алгебры, устанавливающего связь между теорией полей и теорией групп. Группа Галуа данного расширения полей определяется как группа автоморфизмов этого расширения, то есть множество изоморфизмов расширенного поля на себя, сохраняющих элементы исходного поля. Основное применение теории Галуа — решение вопроса о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, а также классификация полей и изучение их свойств.

История

Предпосылки

Вопрос о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах восходит к работам математиков XVI—XVIII веков. Были найдены формулы для решения уравнений третьей (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Джероламо Кардано) и четвёртой (Лодовико Феррари) степеней. Однако попытки найти общую формулу для уравнений пятой степени и выше долгое время не удавались. В 1799 году Паоло Руффини опубликовал доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах, но его работа содержала пробелы. В 1824 году Нильс Хенрик Абель дал строгое доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (теорема Абеля — Руффини). Однако Абель не смог полностью охарактеризовать, какие именно уравнения разрешимы в радикалах.

Вклад Эвариста Галуа

Эварист Галуа (1811—1832) — французский математик, погибший в возрасте 20 лет. В 1830—1831 годах он написал несколько мемуаров, в которых изложил основы теории, позже названной его именем. Галуа ввёл понятие группы перестановок корней уравнения (фактически, группы Галуа) и установил критерий разрешимости уравнения в радикалах: уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году благодаря усилиям Огюста Лиувилля.

Развитие теории

В конце XIX — начале XX века теория Галуа была переформулирована на языке теории полей (Рихард Дедекинд, Леопольд Кронекер) и теории групп (Эмиль Артин, Эмми Нётер). Современная теория Галуа — это раздел алгебры, изучающий расширения полей и их группы автоморфизмов.

Определения

Основные понятия

Пусть \( L/K \) — расширение полей (то есть \( L \) — поле, содержащее поле \( K \)). Автоморфизмом расширения \( L/K \) называется изоморфизм \( \sigma: L \to L \), такой что \( \sigma(a) = a \) для всех \( a \in K \). Множество всех таких автоморфизмов образует группу относительно композиции, которая называется группой Галуа расширения \( L/K \) и обозначается \( \operatorname{Gal}(L/K) \).

Конечные расширения

Если \( L/K \) — конечное расширение (то есть \( L \) — конечномерное векторное пространство над \( K \)), то группа Галуа \( \operatorname{Gal}(L/K) \) конечна. Важным случаем являются расширения Галуа — конечные расширения, для которых \( |\operatorname{Gal}(L/K)| = [L:K] \) (степень расширения). Для таких расширений выполняется основная теорема теории Галуа.

Основная теорема теории Галуа

Основная теорема устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами группы Галуа \( \operatorname{Gal}(L/K) \) и промежуточными полями расширения \( L/K \) (то есть полями \( F \), такими что \( K \subseteq F \subseteq L \)). Соответствие задаётся следующим образом:

• Каждой подгруппе \( H \subseteq \operatorname{Gal}(L/K) \) сопоставляется поле неподвижных точек \( L^H = \{ x \in L \mid \sigma(x) = x \text{ для всех } \sigma \in H \} \).
• Каждому промежуточному полю \( F \) сопоставляется подгруппа \( \operatorname{Gal}(L/F) \subseteq \operatorname{Gal}(L/K) \).

Это соответствие является биекцией, обращающей порядок: если \( H_1 \subseteq H_2 \), то \( L^{H_1} \supseteq L^{H_2} \). Более того, расширение \( F/K \) является расширением Галуа тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа \( \operatorname{Gal}(L/F) \) является нормальной подгруппой в \( \operatorname{Gal}(L/K) \). В этом случае факторгруппа \( \operatorname{Gal}(L/K) / \operatorname{Gal}(L/F) \) изоморфна \( \operatorname{Gal}(F/K) \).

Примеры

Квадратичные расширения

Рассмотрим поле \( \mathbb{Q} \) рациональных чисел и расширение \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \). Автоморфизмы: тождественное отображение и отображение \( \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2} \). Группа Галуа \( \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) \) изоморфна циклической группе порядка 2.

Круговые расширения

Поле \( \mathbb{Q}(\zeta_n) \), где \( \zeta_n \) — примитивный корень \( n \)-й степени из единицы, является расширением Галуа. Группа Галуа \( \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \) изоморфна мультипликативной группе обратимых элементов кольца вычетов \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \). Например, для \( n=5 \) группа \( (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times \) циклическая порядка 4.

Расширение полей разложения

Для многочлена \( f(x) = x^3 - 2 \) над \( \mathbb{Q} \) поле разложения — это \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) \), где \( \omega \) — кубический корень из единицы. Группа Галуа этого расширения изоморфна симметрической группе \( S_3 \) (порядка 6).

Применение

Разрешимость уравнений в радикалах

Основное классическое применение теории Галуа — критерий разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Уравнение \( f(x)=0 \) разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа (группа Галуа поля разложения многочлена) является разрешимой группой. Например, общее уравнение \( n \)-й степени при \( n \ge 5 \) имеет группу Галуа, изоморфную симметрической группе \( S_n \), которая не является разрешимой при \( n \ge 5 \). Это даёт теорему Абеля — Руффини.

Построения циркулем и линейкой

Теория Галуа позволяет решить классические задачи древнегреческой геометрии: невозможность трисекции угла, удвоения куба и квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. Эти задачи сводятся к построению отрезков определённых длин, что возможно только при определённых условиях на степень расширения поля. Например, трисекция угла \( 60^\circ \) требует построения числа \( \cos 20^\circ \), которое не является алгебраическим числом степени, являющейся степенью двойки, что доказывает невозможность.

Классификация полей

Теория Галуа используется для классификации конечных полей, полей алгебраических чисел и других алгебраических структур. Например, группа Галуа конечного поля \( \mathbb{F}_{p^n} \) над простым подполем \( \mathbb{F}_p \) является циклической порядка \( n \), порождённой автоморфизмом Фробениуса \( x \mapsto x^p \).

Интересные факты

• Эварист Галуа в ночь перед дуэлью, в которой он был смертельно ранен, написал письмо с изложением основ своей теории, которое позже стало одним из важнейших документов в истории математики.
• Понятие группы Галуа обобщается на бесконечные расширения полей, где группа Галуа наделяется топологией (топологическая группа Галуа). Это используется в алгебраической теории чисел (теория полей классов).
• Теория Галуа имеет глубокие связи с алгебраической геометрией, топологией и теорией чисел. Например, группа Галуа поля \( \mathbb{Q} \) (абсолютная группа Галуа) является одним из центральных объектов изучения в современной теории чисел.

Критика и ограничения

Теория Галуа не даёт практического способа нахождения корней уравнения, а лишь отвечает на вопрос о принципиальной возможности решения в радикалах. Для конкретных уравнений высокой степени часто требуется численное решение. Кроме того, теория Галуа не применима напрямую к дифференциальным уравнениям, хотя существуют её обобщения (дифференциальная теория Галуа).