Образующая конуса¶

Образующая конуса — прямая, соединяющая вершину конуса с любой точкой его основания; при вращении образующая описывает боковую поверхность конуса. В аналитической геометрии образующая конуса — это прямая, проходящая через вершину конуса и лежащая на его поверхности. Понятие используется при построении и описании конусов, вычислении длины образующей, площади боковой поверхности и объёма конуса, а также при решении задач стереометрии.

¶Определение и свойства

Конус (правильный круговой) образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, вокруг которого происходит вращение, является высотой конуса, а гипотенуза треугольника — образующей конуса. При вращении гипотенуза описывает боковую поверхность конуса, а вторая точка гипотенузы (не лежащая на оси) — окружность основания.

Основные свойства образующей правильного кругового конуса:

• все образующие правильного кругового конуса равны между собой;
• образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой;
• длина образующей всегда больше высоты конуса и больше радиуса основания;
• образующая пересекает ось конуса под углом, меньшим 90°.

¶Формулы

Обозначим:

• $l$ — длина образующей;
• $h$ — высота конуса;
• $r$ — радиус основания.

¶Длина образующей

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного высотой, радиусом основания и образующей:

$$l = \sqrt{h^2 + r^2}$$

Обратные формулы:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}, \quad r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

¶Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность конуса разворачивается в круговой сектор с радиусом $l$ и длиной дуги, равной длине окружности основания $2\pi r$. Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = \pi r l$$

¶Полная площадь поверхности

$$S_{полн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$$

¶Объём конуса

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{l^2 - r^2}$$

¶Угол при вершине конуса

Полный угол при вершине конуса (угол между двумя противоположными образующими, лежащими в одной плоскости с осью) обозначают $2\alpha$. Тогда:

$$\sin \alpha = \frac{r}{l}, \quad \cos \alpha = \frac{h}{l}, \quad \tan \alpha = \frac{r}{h}$$

Эти соотношения позволяют вычислять любую из величин $l$, $h$, $r$ и угла при вершине, зная две из них.

¶Образующая в уравнении конуса

В аналитической геометрии правильный круговой конус с вершиной в начале координат, осью, совпадающей с осью $Oz$, и углом при вершине $2\alpha$ описывается уравнением:

$$x^2 + y^2 = z^2 \tan^2 \alpha$$

Образующие конуса — это прямые, проходящие через вершину и лежащие на его поверхности. Каждая образующая задаётся направляющим вектором, составляющим с осью конуса угол $\alpha$. В векторной форме уравнение образующей с вершиной в точке $A$ имеет вид:

$$\vec{r} = \vec{OA} + t \vec{d}, \quad t \in \mathbb{R}$$

где $\vec{d}$ — направляющий вектор образующей.

¶Применение

Понятие образующей используется при решении задач стереометрии, в частности при вычислении длины нити, натянутой от вершины конуса до окружности основания, при определении траектории движения по боковой поверхности конуса, а также в задачах на построение развёртки конуса. В технике образующая используется при проектировании конических поверхностей — в воронках, конусах сопел, конических редукторах и других элементах, где форма поверхности задаётся образом вращения образующей.

¶Примеры задач

Задача 1. Высота конуса равна 12 см, радиус основания — 5 см. Найти длину образующей.

Решение: $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Задача 2. Длина образующей конуса равна 10 см, радиус основания — 6 см. Найти объём конуса.

Решение: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. Тогда $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$ см³.

Задача 3. Полный угол при вершине конуса равен 60°, длина образующей — 20 см. Найти радиус основания.

Решение: $\alpha = 30°$, $r = l \sin \alpha = 20 \cdot \sin 30° = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ см.

¶Связанные понятия

С образующей тесно связано понятие образующей цилиндра — прямой, параллельной оси цилиндра и соединяющей две окружности оснований. В отличие от конуса, все образующие цилиндра параллельны между собой, а в конусе они сходятся в одной точке — вершине. Понятие образующей также используется в теории поверхностей второго порядка, где конус является частным случаем.

Источники:

• Кочетков Ю. Д. «Аналитическая геометрия»
• Атанасян Л. С. и др. «Геометрия. 10–11 класс»
• Родионов А. Д. «Стереометрия»
• Виленкин Н. Я. «Математика. 7 класс»