Окрестность — математическое понятие¶

Окрестность — понятие математического анализа и топологии, обозначающее множество точек, расположенных «возле» некоторой заданной точки. В топологии окрестностью точки называется любое множество, содержащее открытый множеств, в свою очередь содержащий эту точку. Понятие окрестности лежит в основе определения непрерывности, предела, сходимости и топологического пространства.

¶Этимология

Слово «окрестность» происходит от старославянского «окрестъ» — «вокруг, близ». В русском языке слово изначально имело бытовое значение «ближайшая местность, окружающая территория» (например, «окрестности Москвы»). В математику термин был введён в конце XIX века как калька с немецкого Umgebung (окружение) и французского voisinage — оба эти термина использовались в работах по анализу и топологии.

¶Определение

Пусть $X$ — множество, а $x_0 \in X$ — некоторая точка. Подмножество $U \subseteq X$ называется окрестностью точки $x_0$, если существует открытое множество $V$ такое, что $x_0 \in V \subseteq U$.

В метрическом пространстве $(X, \rho)$ определение принимает конкретную форму: окрестностью точки $x_0$ радиуса $r > 0$ называется множество

$$B(x_0, r) = \{x \in X : \rho(x, x_0) < r\},$$

то есть шар с центром в $x_0$ и радиусом $r$. Такая окрестность называется симметричной. Если точка $x_0$ может быть выбрана произвольно внутри множества $A$, говорят об окрестности множества $A$.

¶Виды окрестностей

• Открытая окрестность — множество, являющееся открытым и содержащее данную точку.
• Симметричная окрестность — шар $B(x_0, r)$ в метрическом пространстве.
• Проколотая окрестность — множество $B(x_0, r) \setminus \{x_0\}$, то есть окрестность без самой точки. Используется при определении предела функции: $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ означает, что для любой окрестности точки $A$ существует проколотая окрестность точки $x_0$, образ которой лежит внутри окрестности $A$.
• Компактная окрестность — окрестность, замыкание которой является компактом. Пространства, в которых у каждой точки есть компактная окрестность, называются локально компактными.
• Счётная база окрестностей — последовательность окрестностей $U_1 \supseteq U_2 \supseteq \dots$ такой, что любая окрестность точки содержит некоторую $U_n$. Пространства, удовлетворяющие этому условию, называются фронтовыми (последовательными) и являются, в частности, метризуемыми по теореме Урысона.

¶Окрестность в топологии

Топологическое пространство определяется через систему открытых множеств, и именно окрестности задают структуру «близости» точек. Система окрестностей точки $x$ должна удовлетворять аксиомам:

1. Каждая окрестность точки $x$ содержит саму точку $x$.
2. Пересечение двух окрестностей точки $x$ является окрестностью точки $x$.
3. Если $U$ — окрестность точки $x$, то существует окрестность $V$ точки $x$, такая что $V \subseteq U$, и любая точка $V$ имеет $U$ как свою окрестность.

Топология, заданная через систему окрестностей, эквивалентна топологии, заданной через открытые множества. В топологиях, не удовлетворяющих аксиоме отделимости, окрестности точки могут быть вырожденными — например, в грубой топологии (индискретной) единственными открытыми множествами являются пустое множество и всё пространство, поэтому у каждой точки есть ровно одна непустая окрестность — всё пространство.

¶Применение

Понятие окрестности используется при определении:

• Предела функции: $f(x) \to A$ при $x \to x_0$, если для любой окрестности $V$ точки $A$ существует проколотая окрестность $U$ точки $x_0$, при этом $f(U \setminus \{x_0\}) \subseteq V$.
• Непрерывности: функция непрерывна в точке, если образ любой окрестности её значения содержит окрестность точки.
• Плотности: множество $A$ плотно в $X$, если любая окрестность любой точки $X$ пересекается с $A$.
• Внутренней точки: точка $x$ является внутренней точкой множества $A$, если $A$ содержит некоторую окрестность $x$.
• Приграничной точки: точка, любая окрестность которой пересекается и с множеством, и с его дополнением.

¶Окрестность в анализе и алгебре

В математическом анализе понятие окрестности позволяет строго определить бесконечно малые величины: функция $\alpha(x)$ является бесконечно малой при $x \to x_0$, если для любой окрестности нуля найдётся проколотая окрестность $x_0$, на которой $|\alpha(x)|$ меньше заданного числа.

В алгебре и теории чисел термин используется в переносном смысле: окрестность целого числа $n$ — это множество чисел вида $n + k$, где $|k| < \epsilon$. В теории групп и колец говорят об окрестности нуля подгруппы или идеала.

¶История

Понятие окрестности оформилось в работах М.С. Урысона (1924), заложившего основы общей топологии, и С. Лебега, использовавшего окрестности при построении меры. Термин «Umgebung» активно применялся в немецкой математической школе начала XX века — в трудах Д. Гильберта, Ф. Хаусдорфа («Основы теории множеств», 1914), Б. Кнаппа. В русскоязычной литературе термин закрепился в учебниках П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного» (1938).

¶Источники

• Александров П.С., Колмогоров А.Н. Введение в теорию функций действительного переменного. — М.: Наука, 1938.
• Урысон М.С. Труды по топологии и другим областям математики. — М.: Наука, 1987.
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — М.: Юрайт.
• Бурбаки Н. Общая топология. — М.: Наука, 1968.