Открыто-замкнутое множество¶

Открыто-замкнутое множество — это подмножество топологического пространства, которое одновременно является открытым и замкнутым в данном пространстве. В общей топологии такие множества играют ключевую роль в определении связности пространства: топологическое пространство является связным тогда и только тогда, когда его единственными открыто-замкнутыми подмножествами являются пустое множество и само пространство. Термин происходит из сочетания свойств открытости (множество содержит все свои внутренние точки) и замкнутости (множество содержит все свои предельные точки).

¶Определение и основные свойства

Пусть \(X\) — топологическое пространство, а \(A \subseteq X\) — его подмножество. Множество \(A\) называется открыто-замкнутым, если оно одновременно открыто и замкнуто в топологии пространства \(X\). Открытость означает, что для каждой точки \(x \in A\) существует открытая окрестность, целиком содержащаяся в \(A\); замкнутость означает, что дополнение \(X \setminus A\) также открыто.

Из определения следуют несколько важных свойств:

• Пустое множество \(\varnothing\) и всё пространство \(X\) всегда являются открыто-замкнутыми в любой топологии.
• Объединение и пересечение любого конечного набора открыто-замкнутых множеств является открыто-замкнутым.
• Дополнение открыто-замкнутого множества также является открыто-замкнутым.

¶Примеры

¶Дискретная топология

В дискретном топологическом пространстве, где каждое подмножество объявляется открытым, любое подмножество является открытым. Поскольку замкнутые множества — это дополнения открытых, в дискретной топологии каждое подмножество также замкнуто. Таким образом, в дискретном пространстве все подмножества являются открыто-замкнутыми.

¶Антидискретная топология

В антидискретном (тривиальном) топологическом пространстве, где открытыми являются только пустое множество и всё пространство, эти два множества и являются единственными открыто-замкнутыми.

¶Действительная прямая со стандартной топологией

На множестве действительных чисел \(\mathbb{R}\) со стандартной топологией (порожденной интервалами) открыто-замкнутыми являются только \(\varnothing\) и \(\mathbb{R}\). Это следует из связности \(\mathbb{R}\): любое нетривиальное открыто-замкнутое подмножество привело бы к разбиению прямой на два непересекающихся открытых множества, что невозможно.

¶Канторово множество

Канторово множество \(C\) (множество точек отрезка \([0,1]\), не содержащих цифры 1 в троичной записи) является примером замкнутого множества, которое не является открытым в стандартной топологии отрезка. Однако в топологии подпространства, индуцированной на \(C\) из отрезка, некоторые подмножества канторова множества могут быть открыто-замкнутыми. Например, множество точек, у которых первый знак троичной записи равен 0, является открыто-замкнутым в \(C\).

¶Пространство с несвязной топологией

Если топологическое пространство несвязно, то оно разбивается на два непересекающихся непустых открытых подмножества, каждое из которых является открыто-замкнутым. Например, в топологии, заданной на множестве \(\{a, b\}\) с открытыми множествами \(\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\), оба одноточечных множества \(\{a\}\) и \(\{b\}\) являются открыто-замкнутыми.

¶Связь со связностью

Открыто-замкнутые множества тесно связаны с понятием связности топологического пространства. Пространство \(X\) называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых подмножеств. Эквивалентное определение: пространство связно, если единственными открыто-замкнутыми подмножествами в нём являются \(\varnothing\) и \(X\).

Если пространство несвязно, то существует непустое собственное открыто-замкнутое подмножество, которое является одновременно и открытой, и замкнутой компонентой связности. Более того, компоненты связности пространства всегда замкнуты, но не обязательно открыты. Однако в локально связных пространствах компоненты связности являются открыто-замкнутыми.

¶Свойства в различных топологических конструкциях

¶Подпространства

Если \(A\) — открыто-замкнутое подмножество пространства \(X\), то для любого подмножества \(Y \subseteq X\) пересечение \(A \cap Y\) является открыто-замкнутым в топологии подпространства на \(Y\). Обратное, вообще говоря, неверно: множество, открыто-замкнутое в подпространстве, может не быть таковым во всём пространстве.

¶Произведения

В топологическом произведении \(\prod_{i \in I} X_i\) открыто-замкнутые множества могут быть устроены сложно. Однако, если пространства \(X_i\) являются связными, то произведение также связно, и тогда единственными открыто-замкнутыми множествами в произведении будут пустое и всё произведение.

¶Факторпространства

При факторизации открыто-замкнутые множества могут переходить в открыто-замкнутые или не сохранять это свойство. Например, при склеивании двух точек в связном пространстве образ открыто-замкнутого множества может перестать быть открытым или замкнутым.

¶Применение в математике

Открыто-замкнутые множества используются в различных областях математики:

• В теории меры: открыто-замкнутые множества часто являются измеримыми по Борелю, и их свойства используются при построении мер.
• В функциональном анализе: в пространствах непрерывных функций открыто-замкнутые множества связаны с понятием нуль-множеств и разделяющих множеств.
• В алгебраической топологии: открыто-замкнутые множества используются при определении фундаментальной группы и накрытий.
• В теории чисел: в p-адических числах \(\mathbb{Q}_p\) открыто-замкнутые множества образуют базу топологии, и многие важные множества, такие как кольцо целых p-адических чисел \(\mathbb{Z}_p\), являются открыто-замкнутыми.

¶Обобщения

Понятие открыто-замкнутого множества может быть обобщено на более широкие классы пространств, например, на локально компактные хаусдорфовы пространства, где компактные открыто-замкнутые множества играют важную роль. В теории топологических групп открыто-замкнутые подгруппы являются важным инструментом изучения структуры группы.

В некоторых контекстах, например, в теории близости или в равномерных пространствах, рассматриваются аналоги открыто-замкнутых множеств, называемые "одновременно открытыми и замкнутыми" в соответствующей равномерной структуре.

¶Источники

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973.
• Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.
• Munkres J. R. Topology. — 2nd ed. — Prentice Hall, 2000.