Парадокс Банаха — Тарского

Парадокс Банаха — Тарского (также известный как парадокс удвоения шара) — это теорема теории множеств и геометрии, утверждающая, что трёхмерный шар можно разбить на конечное число непересекающихся подмножеств, из которых затем, с помощью движений (параллельных переносов и вращений), можно собрать два шара, каждый из которых равен исходному по объёму. Парадокс демонстрирует, что понятие объёма не является конечно-аддитивной мерой для всех подмножеств трёхмерного евклидова пространства, если принять аксиому выбора.

История открытия

Парадокс был сформулирован и доказан польскими математиками Стефаном Банахом и Альфредом Тарским в 1924 году. Их работа основывалась на более ранних результатах, полученных Феликсом Хаусдорфом в 1914 году. Хаусдорф показал, что в трёхмерном пространстве возможно разбиение сферы на такие части, которые после поворотов образуют две сферы того же радиуса. Банах и Тарский обобщили этот результат на шар, используя технику разбиения на пять частей.

Парадокс вызвал широкий резонанс в математическом сообществе, поскольку он противоречил интуитивным представлениям о сохранении объёма при геометрических преобразованиях. Впоследствии было доказано, что для «удвоения» шара достаточно пяти частей, а для «удвоения» сферы — четырёх.

Формулировка теоремы

Пусть \( B \) — замкнутый шар в трёхмерном евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^3\). Существует разбиение шара \( B \) на конечное число непересекающихся подмножеств \( B_1, B_2, \dots, B_n \) (где \( n \) — натуральное число, обычно \( n = 5 \)) и такие изометрии (движения) \( \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n \) пространства \(\mathbb{R}^3\), что образы этих подмножеств \( \varphi_1(B_1), \varphi_2(B_2), \dots, \varphi_n(B_n) \) образуют два непересекающихся шара, каждый из которых равен исходному шару \( B \) по объёму.

Иными словами, из одного шара можно собрать два таких же шара, используя только конечное число кусков и их перемещения без деформации.

Необходимые понятия

Аксиома выбора

Парадокс Банаха — Тарского существенно опирается на аксиому выбора (AC) — фундаментальное утверждение теории множеств, которое гласит, что для любого семейства непустых множеств существует функция, выбирающая по одному элементу из каждого множества. Аксиома выбора не является интуитивно очевидной и не следует из других аксиом теории множеств Цермело — Френкеля (ZF). Без аксиомы выбора парадокс Банаха — Тарского не может быть доказан в рамках стандартной теории множеств.

Неизмеримые множества

Ключевым следствием аксиомы выбора является существование неизмеримых по Лебегу множеств — подмножеств евклидова пространства, для которых невозможно определить объём (меру) таким образом, чтобы он был инвариантен относительно движений и аддитивен для непересекающихся множеств. В разбиении Банаха — Тарского используются именно такие неизмеримые множества, которые не имеют объёма в обычном смысле.

Группа движений

Движениями в парадоксе называются изометрии евклидова пространства — отображения, сохраняющие расстояния между точками. К ним относятся параллельные переносы, вращения и их композиции. Группа всех движений трёхмерного пространства не является аменабельной (не допускает конечно-аддитивной инвариантной меры), что и делает возможным парадокс.

Доказательство (общая схема)

Доказательство парадокса Банаха — Тарского состоит из нескольких этапов:

1. Разбиение свободной группы на два экземпляра. Рассматривается свободная группа с двумя образующими \( F_2 \). Она может быть разбита на четыре непересекающиеся части, из которых с помощью групповых операций можно получить две копии самой группы.

1. Парадоксальное разбиение сферы. Используя аксиому выбора, выбирается по одному представителю из каждой орбиты действия группы \( F_2 \) на сфере \( S^2 \). Затем, с помощью парадоксального разбиения \( F_2 \), строится разбиение сферы на конечное число частей, которые после поворотов образуют две сферы того же радиуса.

1. Распространение на шар. Разбиение сферы комбинируется с разбиением радиальных отрезков, соединяющих центр шара с точками сферы. В результате получается разбиение всего шара на пять частей, из которых можно собрать два шара.

Парадокс и интуиция

Парадокс Банаха — Тарского кажется противоречащим закону сохранения объёма, однако это противоречие лишь кажущееся. Дело в том, что части, на которые разбивается шар, являются неизмеримыми множествами, для которых понятие объёма не определено. В обычной физической реальности невозможно разделить материальный объект на такие части, поскольку материя состоит из атомов и обладает измеримой структурой.

Парадокс не является нарушением физических законов, а демонстрирует ограничения математической модели, основанной на аксиоме выбора и классической теории меры.

Следствия и обобщения

Парадокс Хаусдорфа

Парадокс Хаусдорфа (1914) является предшественником парадокса Банаха — Тарского. Он утверждает, что на сфере \( S^2 \) существует такое разбиение на четыре части, что после поворотов три из них образуют две сферы, а четвёртая часть остаётся неизменной.

Обобщение на другие пространства

Парадокс Банаха — Тарского возможен только в пространствах размерности 3 и выше. В одномерном и двумерном случаях (на прямой и на плоскости) подобного парадокса не существует, поскольку группы движений в этих пространствах являются аменабельными, что позволяет определить конечно-аддитивную меру, инвариантную относительно движений.

Связь с теорией меры

Парадокс показывает, что в трёхмерном евклидовом пространстве не существует конечно-аддитивной меры, инвариантной относительно движений и определённой для всех подмножеств. Это отличает трёхмерное пространство от одномерного и двумерного, где такая мера существует (например, мера Лебега на прямой и на плоскости).

Критика и философские аспекты

Парадокс Банаха — Тарского часто обсуждается в контексте философии математики. Некоторые математики и философы считают, что парадокс свидетельствует о несостоятельности аксиомы выбора и предлагают отказаться от неё в пользу более слабых аксиом. Другие, напротив, полагают, что парадокс является лишь демонстрацией того, что интуитивные представления об объёме не применимы к произвольным множествам.

Парадокс также используется для иллюстрации различия между математическими моделями и физической реальностью. В математике возможно существование неизмеримых множеств, но в физике они не имеют аналогов.

Интересные факты

• Для «удвоения» шара достаточно пяти частей, но для «удвоения» сферы — четырёх.
• Парадокс Банаха — Тарского иногда называют «парадоксом горошины и Солнца», поскольку из одного шара можно собрать шар любого размера, в том числе и шар, равный по объёму Солнцу.
• В 1947 году американский математик Роберт М. Солови доказал, что без аксиомы выбора парадокс Банаха — Тарского не может быть доказан, и что существуют модели теории множеств, в которых он ложен.

Источники

• Banach, S., Tarski, A. (1924). Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. Fundamenta Mathematicae, 6, 244–277.
• Wagon, S. (1993). The Banach–Tarski Paradox. Cambridge University Press.
• Jech, T. (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer.
• Хаусдорф, Ф. (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit & Comp.