Парадокс Кондорсе

Парадокс Кондорсе — это свойство систем голосования, при котором коллективные предпочтения группы избирателей могут быть циклическими (нетранзитивными), даже если индивидуальные предпочтения каждого избирателя являются транзитивными (непротиворечивыми). Впервые описан французским математиком и философом маркизом де Кондорсе в 1785 году. Парадокс демонстрирует, что при выборе из трёх и более альтернатив процедура попарного сравнения большинством голосов может не привести к единому победителю, так как предпочтения большинства образуют замкнутый цикл (например, A предпочтительнее B, B предпочтительнее C, а C предпочтительнее A). Это явление является фундаментальной проблемой теории коллективного выбора и лежит в основе более широкой теоремы Эрроу о невозможности.

История открытия

В 1785 году французский математик и философ Жан-Антуан-Николя де Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet) опубликовал работу «Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix» («Опыт применения анализа к вероятности решений, принимаемых большинством голосов»). В этом труде он впервые сформулировал проблему, связанную с несовершенством процедуры голосования большинством. Кондорсе показал, что даже если каждый избиратель имеет последовательную систему предпочтений, коллективное решение, полученное путём попарного сравнения, может оказаться логически противоречивым — не иметь единственного победителя.

В XIX веке парадокс был переоткрыт и проанализирован в рамках развития математической теории выборов. Особое внимание ему уделил английский математик Чарльз Доджсон (более известный как Льюис Кэрролл) в 1876 году, который предложил несколько методов разрешения подобных циклов. В XX веке парадокс Кондорсе стал одним из краеугольных камней теории общественного выбора, особенно после публикации в 1951 году теоремы Эрроу, которая показала, что любые процедуры агрегирования предпочтений в условиях демократического выбора сталкиваются с принципиальными ограничениями.

Суть парадокса

Парадокс Кондорсе возникает, когда коллективные предпочтения, сформированные по правилу простого большинства, оказываются нетранзитивными. Транзитивность означает, что если A предпочтительнее B, а B предпочтительнее C, то A должно быть предпочтительнее C. В случае парадокса это условие нарушается.

Пример

Рассмотрим трёх избирателей (1, 2, 3) и три альтернативы (A, B, C). Пусть предпочтения избирателей строгие и транзитивные:

• Избиратель 1: A > B > C (A лучше B, B лучше C, следовательно, A лучше C)
• Избиратель 2: B > C > A
• Избиратель 3: C > A > B

Проведём попарное голосование большинством:

• A против B: за A голосуют избиратели 1 и 3 (2 голоса), за B — избиратель 2 (1 голос). Побеждает A.
• B против C: за B голосуют избиратели 1 и 2 (2 голоса), за C — избиратель 3 (1 голос). Побеждает B.
• A против C: за A голосует избиратель 1 (1 голос), за C — избиратели 2 и 3 (2 голоса). Побеждает C.

Таким образом, большинство считает, что A лучше B, B лучше C, но C лучше A. Возникает цикл: A > B > C > A. Победитель, который был бы предпочтительнее всех остальных при попарном сравнении (победитель по Кондорсе), отсутствует.

Условия возникновения

Парадокс Кондорсе может возникнуть при любом числе избирателей (от трёх и более) и при любом числе альтернатив (от трёх и более). Вероятность его возникновения растёт с увеличением числа альтернатив и избирателей. При трёх альтернативах и большом числе избирателей, если предпочтения распределены равномерно, вероятность цикла составляет около 5-10%. При пяти альтернативах она может превышать 25%, а при десяти — 50% и более.

Значение для теории голосования

Парадокс Кондорсе ставит под сомнение идею о том, что голосование большинством всегда приводит к рациональному коллективному выбору. Он демонстрирует, что результаты выборов могут зависеть не только от воли избирателей, но и от процедуры голосования (повестки дня, порядка рассмотрения альтернатив). В условиях цикла любой из кандидатов может быть объявлен победителем, если умело манипулировать порядком голосования.

Победитель по Кондорсе

В тех случаях, когда цикла нет, существует альтернатива, которая побеждает любую другую при попарном сравнении. Такая альтернатива называется победителем по Кондорсе. Парадокс заключается в том, что победитель по Кондорсе существует не всегда. Методы голосования, которые всегда выбирают победителя по Кондорсе, если он существует, называются методами Кондорсе (например, метод Копленда, метод Шульце, метод Тилемана). На практике такие методы используются редко, так как они сложнее для понимания и подсчёта, чем простое большинство.

Связь с теоремой Эрроу

Парадокс Кондорсе является частным случаем более общей теоремы Эрроу о невозможности, доказанной американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году. Теорема утверждает, что не существует системы голосования, которая одновременно удовлетворяла бы нескольким разумным критериям (например, отсутствие диктатора, универсальность, независимость от посторонних альтернатив, единогласие и транзитивность). Парадокс Кондорсе иллюстрирует, что при попытке соблюсти эти критерии с помощью правила большинства возникает цикличность.

Разрешение парадокса

Существует несколько подходов к разрешению или обходу парадокса Кондорсе:

1. Изменение процедуры голосования: Использование методов, не основанных на попарном сравнении (например, рейтинговое голосование, метод Борда, метод одобрительного голосования). Эти методы не гарантируют отсутствие парадокса, но снижают его вероятность.
2. Введение дополнительных правил: Применение правил разрешения циклов (например, выбор наименее проигрывающего кандидата по методу Копленда, или исключение наименее популярного кандидата по методу Нансона).
3. Повторное голосование: Проведение второго тура между двумя кандидатами, набравшими наибольшее число голосов в первом туре. Это может устранить цикл, но не гарантирует выявление победителя по Кондорсе.
4. Ограничение числа альтернатив: Сокращение числа кандидатов до двух, при котором парадокс не возникает.
5. Принятие консенсуса: Переход от голосования к поиску компромисса или переговорам, что позволяет избежать формальной процедуры.

Примеры в реальной жизни

Хотя строгий парадокс Кондорсе в чистом виде встречается редко, его проявления наблюдаются в различных ситуациях коллективного выбора:

• Парламентские выборы: При голосовании по нескольким законопроектам или поправкам может возникнуть ситуация, когда ни один из вариантов не получает поддержки большинства при попарном сравнении.
• Выборы в спортивных организациях: При определении победителя в соревнованиях с несколькими участниками (например, выбор места проведения Олимпийских игр) может возникнуть цикл предпочтений.
• Рейтинги и опросы: При опросах общественного мнения, где респондентов просят ранжировать несколько вариантов, может наблюдаться отсутствие явного лидера.
• Судебные решения: В коллегиях присяжных или судей при рассмотрении нескольких альтернативных вердиктов может возникнуть ситуация, аналогичная парадоксу.

Критика и ограничения

Парадокс Кондорсе часто критикуется за то, что он рассматривает идеализированную модель с транзитивными и строгими предпочтениями. В реальности предпочтения избирателей могут быть нестрогими (допускающими безразличие) или нетранзитивными. Кроме того, на практике вероятность возникновения цикла может быть ниже, чем в теоретических моделях, из-за наличия доминирующих кандидатов или идеологического структурирования электората. Тем не менее, парадокс остаётся важным теоретическим предостережением против догматической веры в непогрешимость процедуры голосования большинством.

Источники

• Condorcet, M. de (1785). Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris: Imprimerie Royale.
• Arrow, K. J. (1951). Social Choice and Individual Values. New York: Wiley.
• Black, D. (1958). The Theory of Committees and Elections. Cambridge: Cambridge University Press.
• Riker, W. H. (1982). Liberalism Against Populism: A Confrontation Between the Theory of Democracy and the Theory of Social Choice. San Francisco: W. H. Freeman.
• Saari, D. G. (2001). Chaotic Elections! A Mathematician Looks at Voting. Providence, RI: American Mathematical Society.