Пауль Бернайс

Пауль Бернайс (нем. Paul Bernays; 17 октября 1888, Лондон — 18 сентября 1977, Цюрих) — швейцарский математик и философ, известный своими фундаментальными работами в области оснований математики, аксиоматической теории множеств и математической логики. Является одним из создателей формальной системы аксиом теории множеств, известной как система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) в её современной аксиоматической формулировке, а также автором теории классов, лежащей в основе системы фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG).

Биография

Ранние годы и образование

Пауль Бернайс родился в Лондоне в семье немецкого происхождения. Его отец, Юлиус Бернайс, был коммерсантом, а мать, Сара Бернайс, происходила из семьи банкиров. Вскоре после рождения Пауля семья переехала в Берлин, где он получил начальное образование. В 1907 году Бернайс поступил в Берлинский университет, где изучал математику и физику. Среди его преподавателей были такие выдающиеся учёные, как Макс Планк и Герман Минковский. В 1912 году он защитил докторскую диссертацию в Гёттингенском университете под руководством Давида Гильберта, посвящённую теории аналитических функций.

Научная карьера

После защиты диссертации Бернайс остался в Гёттингене, где работал ассистентом Гильберта. В 1917 году он получил звание приват-доцента, а в 1922 году — экстраординарного профессора. В этот период он активно участвовал в разработке формальной системы аксиом для теории множеств, начатой Гильбертом. В 1933 году, после прихода к власти в Германии нацистов, Бернайс, имевший еврейское происхождение, был вынужден покинуть страну. Он эмигрировал в Швейцарию, где получил должность профессора в Цюрихском университете. В Цюрихе он проработал до выхода на пенсию в 1958 году, продолжая активную научную деятельность.

Последние годы

После выхода на пенсию Бернайс оставался в Цюрихе, где продолжал публиковать работы и участвовать в научных конференциях. Он скончался в 1977 году в возрасте 88 лет.

Научные достижения

Аксиоматическая теория множеств

Основной вклад Бернайса в математику связан с аксиоматизацией теории множеств. В 1937 году он опубликовал работу «A System of Axiomatic Set Theory», в которой предложил формальную систему, основанную на идеях Джона фон Неймана. Эта система, известная как теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG), отличается от системы Цермело — Френкеля (ZF) тем, что оперирует не только множествами, но и классами — совокупностями, которые могут быть слишком велики, чтобы быть множествами (например, класс всех множеств). Это позволяет избежать некоторых парадоксов, таких как парадокс Рассела, без введения специальных ограничений.

Система NBG является консервативным расширением ZF: любое утверждение о множествах, доказуемое в NBG, доказуемо и в ZF, и наоборот. Однако NBG предоставляет более удобный язык для формулирования некоторых математических конструкций.

Основания математики

Бернайс был одним из ключевых участников программы Гильберта по обоснованию математики, направленной на доказательство непротиворечивости формальных систем. Вместе с Гильбертом он написал двухтомный труд «Grundlagen der Mathematik» («Основания математики», 1934–1939), который стал классическим учебником по математической логике и теории доказательств. В этой работе были систематически изложены принципы формальной арифметики, теория доказательств и метаматематика.

После публикации теорем Гёделя о неполноте (1931), которые показали принципиальную невозможность полного доказательства непротиворечивости арифметики в рамках самой арифметики, Бернайс продолжал работать над вопросами оснований математики, исследуя границы формальных методов и роль интуиции в математическом познании.

Философия математики

Бернайс внёс значительный вклад в философию математики, особенно в области формализма и интуиционизма. Он был сторонником умеренного формализма, признавая, что математические объекты существуют как идеальные конструкции, но при этом их свойства могут быть изучены формальными методами. В своих философских работах, таких как «On Platonism in Mathematics» (1935), он анализировал различные подходы к природе математической реальности, критикуя как наивный платонизм, так и крайний интуиционизм.

Основные работы

• «Grundlagen der Mathematik» (совместно с Д. Гильбертом), т. 1 (1934), т. 2 (1939).
• «A System of Axiomatic Set Theory» (1937–1954) — серия статей, в которых была развита система NBG.
• «Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik» (1976) — сборник философских работ.

Влияние и наследие

Работы Бернайса оказали глубокое влияние на развитие математической логики и теории множеств. Система NBG широко используется в учебных курсах по теории множеств, а его совместный труд с Гильбертом остаётся одним из наиболее авторитетных источников по основаниям математики. В философии математики его идеи о соотношении формального и интуитивного продолжают обсуждаться в современной литературе.

Интересные факты

• Бернайс был одним из немногих математиков, кто лично общался с Давидом Гильбертом, Куртом Гёделем и Джоном фон Нейманом.
• В 1930-е годы он активно переписывался с Гёделем, обсуждая вопросы непротиворечивости формальных систем.
• Несмотря на эмиграцию, Бернайс сохранил швейцарское гражданство и до конца жизни работал в Цюрихе.

Источники

• Hilbert, D., Bernays, P. «Grundlagen der Mathematik». Springer, 1934–1939.
• Bernays, P. «A System of Axiomatic Set Theory». Journal of Symbolic Logic, 1937–1954.
• Fraenkel, A., Bar-Hillel, Y., Levy, A. «Foundations of Set Theory». North-Holland, 1973.
• Kreisel, G. «Paul Bernays». Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, 1978.