Теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя

Теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG, от Neumann–Bernays–Gödel) — это аксиоматическая теория множеств, которая является консервативным расширением системы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). В отличие от ZFC, NBG оперирует не только множествами, но и классами — совокупностями, которые могут быть слишком «большими», чтобы быть множествами (например, класс всех множеств или класс всех ординалов). NBG была разработана для формализации понятия «класс» и устранения некоторых парадоксов наивной теории множеств (в частности, парадокса Рассела) без введения дополнительных аксиом, присущих ZFC.

История

Разработка NBG связана с именами трёх математиков: Джона фон Неймана, Пауля Бернайса и Курта Гёделя.

Работы фон Неймана (1925–1929)

В 1925 году Джон фон Нейман предложил первую аксиоматизацию теории множеств, основанную на понятии «функция», а не «множество». Его система, известная как «теория множеств фон Неймана», содержала идею различения «больших» и «малых» объектов. Однако она была громоздкой и не получила широкого распространения. Фон Нейман ввёл аксиому, которая позже стала известна как аксиома ограничения размера: любое собственное (то есть не являющееся множеством) собрание объектов равномощно универсуму всех множеств.

Вклад Бернайса (1937–1954)

Пауль Бернайс, работая над формализацией математики, упростил систему фон Неймана. В 1937 году он опубликовал статью «A System of Axiomatic Set Theory», в которой заменил функциональный подход на более привычный теоретико-множественный, введя два типа объектов: множества и классы. Бернайс сформулировал аксиомы, которые позволяли строить классы с помощью логических формул, но при этом множества оставались классами, удовлетворяющими определённым условиям (например, принадлежность другому классу).

Завершение Гёделем (1940)

Курт Гёдель в 1940 году опубликовал монографию «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory», в которой использовал систему Бернайса для доказательства относительной непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Гёдель внёс несколько уточнений в аксиоматику, в частности, упростил аксиому существования классов. После этого система получила название NBG (Neumann–Bernays–Gödel).

Аксиоматика

NBG, как и ZFC, является теорией первого порядка с равенством. Язык NBG включает два вида переменных: для множеств (строчные латинские буквы) и для классов (прописные латинские буквы). Все множества являются классами, но не все классы — множества. Класс, не являющийся множеством, называется собственным классом. Аксиомы NBG делятся на три группы: аксиомы множеств, аксиомы классов и аксиома выбора.

Аксиомы множеств

Эти аксиомы аналогичны аксиомам ZFC, но сформулированы для классов, которые являются множествами. Основные из них:

• Аксиома экстенсиональности: два класса равны, если они содержат одни и те же элементы.
• Аксиома пары: для любых двух множеств существует множество, содержащее ровно их.
• Аксиома объединения: для любого множества существует множество, являющееся объединением его элементов.
• Аксиома степени: для любого множества существует множество всех его подмножеств.
• Аксиома бесконечности: существует бесконечное множество (например, множество натуральных чисел).
• Аксиома подстановки: если класс является функцией, то образ множества под действием этой функции — также множество.

Аксиомы классов

Эти аксиомы определяют, какие классы существуют. В NBG они формулируются как одна схема аксиом, называемая аксиомой существования классов: для любой формулы φ(x), в которой все кванторы ограничены множествами, существует класс всех множеств x, удовлетворяющих φ(x). Эта схема гарантирует, что любой определимый предикат порождает класс. Например, класс всех множеств (универсум) и класс всех ординалов существуют как собственные классы.

Аксиома выбора

NBG включает аксиому выбора в форме, аналогичной ZFC: для любого множества непустых непересекающихся множеств существует множество-выбор, содержащее ровно по одному элементу из каждого.

Свойства и отличия от ZFC

Консервативность

NBG является консервативным расширением ZFC: любое утверждение, сформулированное на языке множеств (то есть без упоминания классов), доказуемо в NBG тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFC. Это означает, что NBG не добавляет новой информации о множествах, но предоставляет более удобный язык для работы с «большими» объектами.

Конечная аксиоматизация

В отличие от ZFC, где аксиома подстановки является схемой (бесконечным набором аксиом), NBG может быть аксиоматизирована конечным числом аксиом. Это достигается за счёт того, что аксиома существования классов заменяется несколькими конкретными аксиомами, описывающими операции над классами (например, пересечение, дополнение, область определения). Такая конечная аксиоматизация удобна для метаматематических исследований.

Работа с собственными классами

В NBG собственные классы (например, класс всех множеств V, класс всех ординалов On) являются объектами теории, но не могут быть элементами других классов. Это позволяет избежать парадоксов, таких как парадокс Рассела: класс R = {x | x ∉ x} является собственным классом, и вопрос о его принадлежности самому себе не возникает, так как он не может быть элементом никакого класса.

Применение

Теория моделей

NBG часто используется в теории моделей для изучения свойств универсума множеств. Например, класс V всех множеств может рассматриваться как модель ZFC, а его собственные подклассы — как внутренние модели. NBG позволяет формализовать понятие «классовая модель», что важно для доказательств относительной непротиворечивости.

Доказательство непротиворечивости

Гёдель использовал NBG для доказательства того, что аксиома выбора и обобщённая континуум-гипотеза не противоречат аксиомам ZFC (при условии непротиворечивости ZFC). Он построил класс конструктивных множеств L, который является моделью ZFC + V = L, и показал, что в L выполняются обе гипотезы.

Категория и теория топосов

В теории категорий и топосов понятие класса используется для формализации «больших» категорий (например, категории всех множеств). NBG предоставляет аксиоматическую основу для таких построений, хотя в современной практике чаще используют универсумы Гротендика или теорию множеств с недостижимыми кардиналами.

Критика и ограничения

Неполнота

Как и любая непротиворечивая аксиоматическая теория, содержащая арифметику, NBG неполна в смысле теорем Гёделя о неполноте. Это означает, что существуют утверждения о множествах, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в рамках NBG.

Спор о необходимости

Некоторые математики считают, что введение классов излишне усложняет теорию, поскольку все результаты, доказуемые в NBG, могут быть переформулированы в ZFC с помощью метаязыковых конструкций. Однако сторонники NBG указывают на удобство работы с классами в метаматематике.

Отсутствие аксиомы фундирования

В некоторых вариантах NBG аксиома фундирования (регулярности) может быть опущена, что позволяет изучать необоснованные множества (например, множества, содержащие себя в качестве элемента). Однако в классической формулировке NBG, как и ZFC, включает аксиому фундирования.

Интересные факты

• NBG является одной из немногих аксиоматических теорий множеств, которая допускает конечную аксиоматизацию. Это свойство было доказано Ван Хао и Робертом Макнотоном в 1950-х годах.
• Система NBG иногда называется «теорией классов Бернайса — Гёделя» (BG), а имя фон Неймана добавляется для исторической точности.
• В отличие от ZFC, где аксиома подстановки является схемой, в NBG она формулируется как одна аксиома, использующая понятие класса-функции.

Источники

• Neumann, J. von. «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre». Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1925.
• Bernays, P. «A System of Axiomatic Set Theory». Journal of Symbolic Logic, 1937–1954.
• Gödel, K. «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory». Princeton University Press, 1940.
• Fraenkel, A. A., Bar-Hillel, Y., Levy, A. «Foundations of Set Theory». North-Holland, 1973.
• Jech, T. «Set Theory: The Third Millennium Edition». Springer, 2003.