Периметр четырёхугольника¶
Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех четырёх сторон замкнутой плоской фигуры, ограниченной четырьмя отрезками. Четырёхугольник (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб, произвольный выпуклый четырёхугольник) относится к простейшим многоугольникам, поэтому формулы периметра для него входят в школьный курс геометрии и применяются при решении задач на вычисление длин, построение фигур и вычисление площадей.
¶Общая формула
Обозначим стороны четырёхугольника буквами a, b, c и d. Тогда периметр P вычисляется по формуле:
P = a + b + c + d
Эта формула универсальна: она работает для любого четырёхугольника — выпуклого или невыпуклого, правильного или произвольного — при условии, что известны длины всех четырёх сторон. Единицы измерения периметра совпадают с единицами измерения сторон: если стороны заданы в сантиметрах, периметр будет в сантиметрах, если в метрах — в метрах.
¶Частные случаи для известных четырёхугольников
Для ряда распространённых четырёхугольников формула периметра упрощается за счёт свойств их сторон.
¶Квадрат
Квадрат — это четырёхугольник, у которого все четыре стороны равны между собой. Если длина стороны равна a, то периметр квадрата:
P = 4a
Например, при стороне 5 см периметр составляет 20 см.
¶Прямоугольник
У прямоугольника противоположные стороны попарно равны: две стороны имеют длину a, две другие — длину b. Формула периметра:
P = 2(a + b)
При a = 6 м и b = 4 м периметр равен 2 × (6 + 4) = 20 м.
¶Параллелограмм
У параллелограмма противоположные стороны также попарно равны, поэтому формула совпадает с формулой для прямоугольника:
P = 2(a + b)
где a и b — длины соседних сторон.
¶Ромб
Ромб — частный случай параллелограмма, у которого все четыре стороны равны. Его периметр, как и у квадрата:
P = 4a
¶Трапеция
У трапеции попарно равных сторон нет (за исключением частного случая равнобедренной трапеции, где боковые стороны равны). Поэтому для произвольной трапеции со сторонами a, b, c и d периметр вычисляется по общей формуле:
P = a + b + c + d
Для равнобедренной трапеции с основаниями a и b и боковой стороной c:
P = a + b + 2c
¶Китайский четырёхугольник (правильный)
Для правильного четырёхугольника (то есть квадрата) формула P = 4a является частным случаем общей формулы правильного n-угольника P = na при n = 4.
¶Решение обратных задач
Иногда по периметру и некоторым сторонам требуется найти неизвестную сторону. Например, если известны периметр P и три стороны a, b, c, то четвёртая сторона:
d = P − a − b − c
Для прямоугольника, если известны периметр P и одна сторона a, вторая сторона находится как:
b = P/2 − a
Для квадрата сторона по периметру:
a = P/4
Эти преобразования используются при построении фигур по заданному периметру и решении задач на нахождение сторон.
¶Единицы измерения и перевод
Периметр, как и любая длина, измеряется в метрических единицах: миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах. При решении задач важно приводить все стороны к одной единице измерения до сложения. Например, если стороны заданы как 2 м, 30 см, 0,5 м и 40 см, их следует перевести в сантиметры: 200 + 30 + 50 + 40 = 320 см.
¶Примеры задач
Задача 1. Найти периметр четырёхугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см и 6 см. Решение: P = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 см.
Задача 2. Периметр прямоугольника равен 24 см, одна сторона — 7 см. Найти вторую сторону. Решение: b = 24/2 − 7 = 12 − 7 = 5 см.
Задача 3. Периметр квадрата равен 36 дм. Найти длину стороны. Решение: a = 36/4 = 9 дм.
Задача 4. Найти периметр трапеции с основаниями 10 см и 6 см и боковыми сторонами 5 см и 7 см. Решение: P = 10 + 6 + 5 + 7 = 28 см.
¶Связь с другими свойствами четырёхугольников
Периметр не определяет фигуру однозначно: из одного и того же периметра можно построить бесконечное множество четырёхугольников разной формы и площади. При этом для четырёхугольников с фиксированным периметром наибольшую площадь имеет квадрат (среди всех четырёхугольников с заданным периметром). Существует также неравенство, связывающее периметр с диагоналями: сумма квадратов диагоналей четырёхугольника не превышает квадрата его периметра, делённого на 2 (неравенство Парривана).
Периметр четырёхугольника применяется при вычислении длины ограждения, рамы, бордюра и других практических задачах, где требуется длина контура замкнутой четырёхугольной фигуры.
Источники:
- Киселёв А. П. «Геометрия. 7 класс»
- Атанасян Л. С. и др. «Геометрия. 7–9 классы»
- Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы»