Периодограмма

Периодограмма — это оценка спектральной плотности мощности (СПМ) сигнала, полученная путём вычисления квадрата модуля дискретного преобразования Фурье (ДПФ) последовательности отсчётов. В статистике и цифровой обработке сигналов периодограмма является одним из основных, но смещённых и несостоятельных методов спектрального оценивания. Она представляет собой выборочную оценку истинного спектра, основанную на конечной записи данных.

История

Метод периодограммы впервые был предложен Артуром Шустером в 1898 году в контексте анализа временных рядов при исследовании периодичностей в солнечной активности. Шустер использовал периодограмму для выявления скрытых периодичностей в данных, зашумлённых случайными флуктуациями. Термин «периодограмма» происходит от греческих слов «περίοδος» (период) и «γράμμα» (запись), что отражает её первоначальное назначение — графическое представление амплитуд возможных периодов.

Долгое время периодограмма оставалась основным инструментом спектрального анализа, однако её статистические недостатки (большая дисперсия и смещение) были выявлены лишь в середине XX века. В 1940-х годах Норберт Винер и Андрей Колмогоров заложили основы современной теории спектрального оценивания, что привело к разработке альтернативных методов, таких как коррелограммный метод и метод Уэлча. Несмотря на это, периодограмма остаётся широко используемой благодаря своей вычислительной простоте и наглядности.

Математическое определение

Пусть \( x[n] \) — дискретный сигнал длиной \( N \) отсчётов, \( n = 0, 1, \dots, N-1 \). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сигнала определяется как:

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2\pi k n / N}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1 \]

где \( k \) — индекс частоты, соответствующий частоте \( f_k = k \cdot \frac{f_s}{N} \) (при частоте дискретизации \( f_s \)).

Периодограмма \( P[k] \) (или \( P(f) \) в непрерывном случае) вычисляется как:

\[ P[k] = \frac{1}{N} \left| X[k] \right|^2 \]

В некоторых источниках используется нормировка на \( \frac{1}{N} \), в других — на \( \frac{1}{N^2} \) или \( \frac{1}{f_s N} \), что влияет на масштаб, но не на форму спектра. Для получения оценки спектральной плотности мощности в единицах мощности на герц (Вт/Гц) применяется нормировка на частоту дискретизации:

\[ P(f_k) = \frac{1}{f_s N} \left| X[k] \right|^2 \]

Свойства и недостатки

Смещение

Периодограмма является смещённой оценкой истинной спектральной плотности мощности. Смещение возникает из-за конечной длины записи и эффекта усечения сигнала прямоугольным окном. Математически это выражается как свёртка истинного спектра с функцией спектрального окна (ядра Фейера). В результате происходит «растекание спектра» (spectral leakage): энергия с одной частоты просачивается на соседние, что затрудняет разрешение близких спектральных компонент.

Несостоятельность

Периодограмма является несостоятельной оценкой: её дисперсия не стремится к нулю при увеличении длины выборки \( N \). Более того, дисперсия периодограммы на каждой частоте приблизительно равна квадрату истинного значения СПМ на этой частоте, то есть относительная ошибка оценки составляет около 100%. Это означает, что периодограмма сильно флуктуирует от реализации к реализации, даже если сигнал стационарен.

Разрешающая способность

Разрешающая способность периодограммы по частоте определяется шириной главного лепестка спектрального окна и составляет примерно \( \Delta f \approx 1/N \) (в единицах нормализованной частоты). Это означает, что две синусоиды с разностью частот менее \( 1/N \) не могут быть разрешены на периодограмме.

Модификации и улучшения

Для преодоления недостатков классической периодограммы были разработаны различные модификации.

Метод Уэлча

Наиболее популярным улучшением является метод Уэлча (1967), который предполагает:

1. Разбиение исходного сигнала на \( K \) перекрывающихся сегментов (обычно с перекрытием 50%).
2. Применение к каждому сегменту оконной функции (например, окна Ханна, Хэмминга или Блэкмана) для уменьшения спектральной утечки.
3. Вычисление периодограммы для каждого сегмента.
4. Усреднение полученных периодограмм.

Усреднение снижает дисперсию оценки примерно в \( K \) раз, но при этом ухудшается разрешающая способность, так как каждый сегмент короче исходного сигнала.

Метод Бартлетта

Метод Бартлетта (1948) является частным случаем метода Уэлча с неперекрывающимися сегментами и прямоугольным окном. Он проще, но даёт большую дисперсию по сравнению с методом Уэлча при той же длине сегмента.

Метод Дэниэлла

Метод Дэниэлла предполагает сглаживание периодограммы путём скользящего усреднения по соседним частотам. Это также снижает дисперсию, но за счёт ухудшения частотного разрешения.

Применение

Периодограмма и её модификации широко используются в различных областях науки и техники:

• Радиотехника и связь: анализ спектра радиосигналов, обнаружение узкополосных помех, оценка частоты несущей.
• Акустика: спектральный анализ звуковых сигналов, идентификация музыкальных тонов, обнаружение резонансов.
• Сейсмология: анализ сейсмических записей для выявления частотных характеристик грунта и источников колебаний.
• Биомедицина: спектральный анализ электроэнцефалограмм (ЭЭГ) и электрокардиограмм (ЭКГ) для диагностики состояний мозга и сердца.
• Экономика и финансы: анализ временных рядов (например, котировок акций) для выявления циклических компонент.
• Астрономия: поиск периодичностей в данных о переменных звёздах, пульсарах и космических источниках излучения.

Примеры

Пример 1: Синусоидальный сигнал

Рассмотрим сигнал \( x[n] = \sin(2\pi \cdot 0.1 \cdot n) \) длиной \( N = 128 \) отсчётов. Периодограмма этого сигнала покажет ярко выраженный пик на частоте \( f = 0.1 \) (нормализованная частота). Однако из-за спектральной утечки пик будет иметь ненулевую ширину, а на соседних частотах появятся боковые лепестки.

Пример 2: Две близкие синусоиды

Сигнал \( x[n] = \sin(2\pi \cdot 0.1 \cdot n) + \sin(2\pi \cdot 0.12 \cdot n) \) при \( N = 128 \) не будет разрешён на периодограмме: пики сольются в один. При \( N = 512 \) пики станут различимы.

Пример 3: Белый шум

Периодограмма белого шума (дискретного) будет флуктуировать вокруг среднего значения, равного дисперсии шума, с относительной ошибкой около 100%. Усреднение по многим реализациям (метод Уэлча) даст более гладкую оценку.

Сравнение с другими методами

Интересные факты

• Периодограмма исторически была первым методом спектрального анализа, реализованным на компьютерах в 1950-х годах.
• В 1965 году Кули и Тьюки опубликовали алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), что сделало вычисление периодограммы практичным для больших массивов данных.
• В некоторых областях, например в астрономии, используется «периодограмма Ломба — Скаргла», которая адаптирована для неравномерно дискретизированных данных.

Источники

• Шустер, А. (1898). «On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena». Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity.
• Уэлч, П. Д. (1967). «The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: a method based on time averaging over short, modified periodograms». IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics.
• Оппенгейм, А. В., Шафер, Р. В. (1999). Цифровая обработка сигналов. Москва: Техносфера.
• Марпл-мл., С. Л. (1987). Цифровой спектральный анализ и его приложения. Москва: Мир.