Перпендикуляр в геометрии¶

Перпендикуляр — в геометрии прямая (или отрезок, луч), пересекающая данную прямую (плоскость, поверхность) под прямым углом, то есть под углом 90°. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра. Понятие перпендикулярности — одно из базовых в евклидовой геометрии и лежит в основе определения расстояний, построения ортогональных проекций, декартовой системы координат и многих прикладных задач.

¶Обозначение и определения

Перпендикулярность прямых обозначают символом ⊥: запись \(a \perp b\) читается «прямая \(a\) перпендикулярна прямой \(b\)». Две прямые на плоскости перпендикулярны, если при пересечении они образуют четыре прямых угла. В пространстве различают перпендикулярность прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.

Отрезок, опущенный из точки на прямую или плоскость под прямым углом, называют перпендикуляром, а его длину — расстоянием от точки до прямой (плоскости). Наклонной называют отрезок, соединяющий точку с прямой не под прямым углом; её проекция на прямую всегда короче самой наклонной.

¶Свойства

Основные свойства перпендикуляра:

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной (на плоскости).
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой; это обосновывает определение расстояния.
• Если две прямые перпендикулярны третьей, они параллельны между собой (на плоскости).
• Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от его концов.
• В пространстве признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

¶Построение

На плоскости перпендикуляр строят с помощью циркуля и линейки. Для восстановления перпендикуляра в точке \(A\) прямой откладывают по обе стороны от \(A\) равные отрезки, затем из полученных точек проводят равные дуги радиусом больше половины расстояния между ними; прямая через точку \(A\) и пересечение дуг будет искомым перпендикуляром. На практике применяют чертёжный угольник, транспортир, а в строительстве и разметке — теодолит, лазерный нивелир и отвес, задающий вертикаль (частный случай перпендикуляра к горизонтальной плоскости).

¶Связь с координатами и метрикой

В декартовой системе координат две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно −1 (для невертикальных прямых). В векторной форме условие перпендикулярности — равенство нулю скалярного произведения направляющих векторов: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). Это соотношение обобщает понятие ортогональности на многомерные пространства и функциональные пространства, где оно применяется к векторам, функциям и сигналам.

¶Применение

Перпендикулярность — рабочий инструмент во многих областях:

В геометрии треугольника перпендикуляры дают ключевые точки: высоты пересекаются в ортоцентре, серединные перпендикуляры сторон — в центре описанной окружности. В стереометрии перпендикуляр к плоскости позволяет определять двугранные углы и расстояния между скрещивающимися прямыми.

¶Перпендикуляр в культуре и языке

Слово «перпендикуляр» происходит от латинского perpendicularis — «отвесный», от perpendiculum — «отвес, ватерпас» (буквально «отвешивающий»). В русском языке оно употребляется и в переносном, шутливом смысле — о чём-то, расположенном поперёк, под прямым углом к основному направлению. В школьном курсе геометрии тема перпендикулярности изучается с 7 класса и предшествует теореме Пифагора и тригонометрии.

¶Интересные факты

• Отвес — древнейший инструмент, основанный на перпендикуляре: направление нити с грузом совпадает с вертикалью.
• В неевклидовых геометриях (например, на сфере) перпендикуляр определяется через углы, но свойства, привычные на плоскости, могут не выполняться.
• Ортогональность (обобщение перпендикулярности) — центральное понятие в линейной алгебре, теории рядов Фурье и обработке сигналов.

Источники: учебники по геометрии для средней школы, математические энциклопедии, справочники по черчению и геодезии.