Признак перпендикулярности прямой и плоскости¶

Признак перпендикулярности прямой и плоскости — теорема стереометрии, устанавливающая достаточное условие перпендикулярности прямой к плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Наряду с признаком параллельности и теоремой о трёх перпендикулярах, это утверждение входит в базовый набор теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей в школьном курсе геометрии.

¶Формулировка

Пусть даны плоскость α и прямая a, пересекающая эту плоскость в точке M. Если в плоскости α существуют две прямые b и c, проходящие через точку M и не совпадающие между собой, такие что a ⊥ b и a ⊥ c, то прямая a перпендикулярна плоскости α, то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Существенно, что обе прямые b и c должны лежать в плоскости α и пересекаться в точке M. Требование пересечения принципиально: если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым плоскости, это ещё не означает её перпендикулярности всей плоскости. Именно поэтому в формулировке фигурируют «две пересекающиеся прямые».

¶Определение перпендикулярности

Предварительно вводится определение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку проверить перпендикулярность ко всем прямым плоскости напрямую невозможно, признак заменяет бесконечную проверку конечной: достаточно убедиться в перпендикулярности к двум конкретным пересекающимся прямым. В этом состоит практическая ценность теоремы.

Отдельно доказывается, что если прямая перпендикулярна плоскости, то она пересекает эту плоскость. Прямая, перпендикулярная плоскости, не может быть ей параллельна или лежать в ней.

¶Доказательство

Классическое доказательство опирается на свойства равенства треугольников и проводится в несколько шагов.

Пусть прямая a пересекает плоскость α в точке M и перпендикулярна прямым b и c, лежащим в α и проходящим через M.
Требуется показать, что a перпендикулярна произвольной прямой l плоскости α. Если l проходит через M, утверждение следует из того, что через точку M в плоскости можно провести прямую, параллельную l, и воспользоваться определением. Основной случай — когда l не проходит через M.
Через точку M проводят прямую, параллельную l. На прямой a по разные стороны от M откладывают равные отрезки MA и MA₁. Прямые b и c выбирают так, чтобы они пересекали l (или параллельную ей прямую) в точках B и C.
Рассматривают треугольники ABM и A₁BM: они равны по двум сторонам и углу между ними (AM = A₁M, BM — общая, углы при M прямые). Отсюда AB = A₁B. Аналогично из треугольников ACM и A₁CM получают AC = A₁C.
Треугольники ABC и A₁BC равны по трём сторонам (AB = A₁B, AC = A₁C, BC — общая). Значит, равны и соответствующие углы, в частности углы при вершине пересечения с прямой l.
Из равенства углов следует, что прямая a перпендикулярна прямой l. Поскольку l выбрана произвольно, a перпендикулярна любой прямой плоскости α.

Доказательство опирается на аксиомы стереометрии и признаки равенства треугольников; в учебниках геометрии оно приводится в сокращённом виде с опорой на лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.

¶Связанные утверждения

Признак тесно связан с рядом других теорем, образующих единую логическую цепочку:

Лемма о двух параллельных прямых: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая перпендикулярна той же плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной, и наоборот.
Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство перпендикуляра и наклонных: из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр короче любой наклонной, а равные наклонные имеют равные проекции.

¶Применение

Признак используется при решении задач на доказательство перпендикулярности и при вычислении расстояний и углов в пространстве.

Типовые применения:

Доказательство перпендикулярности ребра многогранника к грани: например, в прямоугольном параллелепипеде боковое ребро перпендикулярно двум пересекающимся рёбрам основания, следовательно, перпендикулярно плоскости основания.
Обоснование того, что высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
Введение прямоугольной системы координат: оси выбирают перпендикулярными двум пересекающимся прямым плоскости, что позволяет применять координатный метод.
Расчёт расстояния от точки до плоскости и угла между прямой и плоскостью, где ключевым шагом является построение перпендикуляра.

В инженерной практике признак лежит в основе проверки вертикальности конструкций: достаточно убедиться в перпендикулярности элемента двум независимым направлениям в горизонтальной плоскости.

¶Типичные ошибки

Распространённая ошибка — замена условия «две пересекающиеся прямые» на «две прямые». Перпендикулярность к двум параллельным прямым плоскости не гарантирует перпендикулярности к плоскости: например, прямая, перпендикулярная двум параллельным прямым, может быть наклонена к плоскости, оставаясь перпендикулярной каждому из этих направлений. Также ошибочно считать, что прямая, перпендикулярная одной прямой плоскости, перпендикулярна и самой плоскости.

¶Значение в курсе геометрии

Признак перпендикулярности прямой и плоскости изучается в старших классах средней школы и входит в перечень тем, проверяемых на итоговой аттестации. Он служит основой для дальнейшего изучения двугранных углов, многогранников, тел вращения и аналитической геометрии. Вместе с признаком параллельности он образует базовую дихотомию взаимного расположения прямой и плоскости: прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её, и в последнем случае может быть ей перпендикулярна.

Источники: учебники геометрии для 10–11 классов, курсы стереометрии, справочные материалы по элементарной геометрии.