Плоскость в геометрии¶

Плоскость — понятие начертательной геометрии, обозначающее одну из трёх основных геометрических форм (наряду с прямой линией и точкой). В евклидовой геометрии плоскость — это неограниченная двумерная поверхность, все точки которой лежат на одном расстоянии от заданной прямой, проходящей через эту поверхность. Плоскость не имеет ни толщины, ни границ, однако в геометрии и черчении часто рассматривается её ограниченный фрагмент — так называемая «поверхность плоскости», изображаемая на бумаге.

¶Определение и аксиоматика

В элементарной геометрии плоскость определяется через аксиомы. По одной из формулировок, плоскость — это множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению в трёхмерном пространстве:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C, D — постоянные коэффициенты, причём одновременно A = B = C = 0 невозможно. Такое уравнение называется общим уравнением плоскости.

Ключевые аксиомы, связанные с плоскостью:

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
2. Если две точки лежат на плоскости, то прямая, проходящая через них, целиком лежит на этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

¶Способы задания плоскости

В аналитической геометрии плоскость может быть задана несколькими способами:

• Общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0.
• Уравнением с нормальным вектором: точка M₀(x₀, y₀, z₀) и вектор нормали n = (A, B, C) однозначно определяют плоскость.
• Каноническим (отрезковым) уравнением: x/a + y/b + z/c = 1, где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
• Через точку и две неколлинеарные векторы, лежащие в плоскости.
• Через две параллельные прямые или через точку и прямую, не проходящую через эту точку.

¶Взаимное расположение плоскостей и прямых

В пространстве плоскости могут быть:

• Параллельными — не иметь общих точек (или совпадать).
• Пересекающимися — общая точечная область является прямой.

Угол между двумя плоскости определяется как угол между их нормальными векторами (или дополнение этого угла). Две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны.

Прямая и плоскость могут:

• Не пересекаться (быть параллельными).
• Пересекаться в одной точке.
• Лежать в плоскости целиком.

Критерий параллельности прямой и плоскости: направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали плоскости, а точка прямой не лежит на плоскости.

¶Плоскость в начертательной геометрии и черчении

В инженерной графике плоскость является одной из трёх «основных форм» наравне с прямой и точкой. Плоскости, проходящие через осевые линии предмета, называются координатными плоскостями (плоскость проекций). В машиностроении и строительстве различают:

• Горизонтальную плоскость (уровень) — перпендикулярную линии отвеса.
• Вертикальную плоскость — содержащую линию отвеса.
• Горизонтальную проекционную плоскость (π₁) и вертикальную проекционную плоскость (π₂) — основные плоскости системы прямоугольных проекций.

Плоскости, пересекающие тело, называются секущими, а их следы на поверхности тела — сечениями.

¶Плоскости в физике и технике

Понятие плоскости широко применяется в физике и инженерии:

• Плоскость чертежа — условная плоскость, на которой выполняется изображение объекта.
• Плоскость полярности — в радиотехнике, воображаемая плоскость, в которой расположены элементы антенны.
• Плоскость качания — в механике, плоскость, в которой происходит колебательное движение.
• Плоскость скольжения — в кристаллографии и механике деформируемого твёрдого тела, поверхность, вдоль которой происходит смещение атомных слоёв.
• Плоскость Френеля — в волновой оптике, поверхность равной фазы световой волны.

¶Свойства плоскости

• Плоскость является развёртываемой поверхностью — её нельзя согнуть без разрывов и растяжений.
• Плоскость делит пространство на два полупространства.
• Плоскость обладает симметрией: любое отражение относительно прямой, лежащей в плоскости, переводит плоскость в себя.
• Через данную прямую можно провести бесконечно много плоскостей («пучок плоскостей»), но ровно одну перпендикулярную любой заданной плоскости, не содержащей эту прямую.

¶Плоскость в неевклидовой геометрии

В геометрии Лобачевского и Риманова плоскость заменяется понятием поверхности постоянной кривизны. В частности, в геометрии Лобачевского плоскость — это псевдосферическая поверхность с отрицательной кривизной, на которой выполняются иные аксиомы параллельности. В римановой геометрии аналогом плоскости является двумерная сфера.

¶Историческая справка

Понятие плоскости введено в «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.), где плоскость определяется через аксиому: «Плоскость есть то, что равномерно простирается во все стороны по линиям, лежащим на ней». В аналитической геометрии уравнение плоскости впервые было получено Рене Декартом и Пьером Ферма в XVII веке. Систематическое развитие теория плоскости получила в трудах Карла Фридриха Гаусса и Николая Лобачевского.

¶Источники

• Киселёв А. П. «Геометрия» (для средней школы)
• Родионов А. Д. «Начертательная геометрия»
• Атанасян Л. С. «Геометрия. 7–11 класс»
• Погорелов А. В. «Геометрия. Учебник для 7–11 классов»
• Гладков В. А. «Начертательная геометрия»