Поле разложения

Поле разложения — это минимальное расширение поля, в котором данный многочлен с коэффициентами из исходного поля раскладывается на линейные множители (то есть имеет все свои корни). Понятие поля разложения является фундаментальным в теории полей и алгебраической теории Галуа, так как оно позволяет изучать симметрии корней многочлена и связывать свойства многочлена с алгебраическими структурами.

Определение

Пусть \( K \) — поле, а \( f(x) \in K[x] \) — многочлен степени \( n \ge 1 \) с коэффициентами из \( K \). Полем разложения многочлена \( f \) над полем \( K \) называется такое расширение \( L \) поля \( K \), что:

\( f(x) \) разлагается в \( L[x] \) на линейные множители, то есть существуют элементы \( a_1, a_2, \dots, a_n \in L \) (не обязательно различные) и ненулевой элемент \( c \in K \) такие, что

\[ f(x) = c (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n). \]

\( L \) является минимальным по включению расширением, обладающим этим свойством: если \( K \subseteq M \subseteq L \) и \( f \) разлагается на линейные множители над \( M \), то \( M = L \).

Иными словами, поле разложения — это наименьшее поле, содержащее все корни многочлена \( f \). Его часто обозначают как \( \operatorname{Split}_K(f) \) или \( K(a_1, \dots, a_n) \), где \( a_i \) — корни \( f \).

Существование и единственность

Для любого поля \( K \) и любого многочлена \( f(x) \in K[x] \) поле разложения существует и единственно с точностью до изоморфизма (над \( K \)). Это утверждение является классическим результатом теории полей.

Существование доказывается индукцией по степени многочлена. На каждом шаге строится поле разложения для неприводимого множителя \( f \), используя факторкольцо \( K[x]/(p(x)) \), где \( p(x) \) — неприводимый делитель \( f \). Это поле является простым алгебраическим расширением, содержащим хотя бы один корень \( p \). Затем процесс повторяется для многочлена, полученного после выделения этого корня.

Единственность (с точностью до изоморфизма) следует из того, что любое поле разложения является композитом полей, порождённых всеми корнями, и из свойства универсальности алгебраического замыкания. Если поле \( K \) фиксировано, то любые два поля разложения \( f \) изоморфны как расширения \( K \).

Степень поля разложения

Степень расширения \( [L : K] \) поля разложения \( L \) над \( K \) называется степенью поля разложения. Она может быть вычислена как произведение степеней неприводимых множителей \( f \) в определённом порядке, но не превосходит \( n! \), где \( n = \deg f \). На практике степень поля разложения часто меньше \( n! \), поскольку корни могут быть алгебраически зависимы.

Например, для многочлена \( x^3 - 2 \) над полем рациональных чисел \( \mathbb{Q} \) поле разложения имеет степень 6 (а не 6! = 720), так как корни — это \( \sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2} \), где \( \omega \) — кубический корень из единицы, и \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) \) — расширение степени 6.

Связь с теорией Галуа

Поле разложения является центральным объектом в теории Галуа. Если \( f \) — сепарабельный многочлен (не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании), то его поле разложения \( L \) является расширением Галуа над \( K \). Группа Галуа \( \operatorname{Gal}(L/K) \) состоит из автоморфизмов поля \( L \), сохраняющих элементы \( K \), и её порядок равен степени расширения \( [L : K] \). Эта группа действует на множестве корней \( f \) и может быть изучена как подгруппа симметрической группы \( S_n \).

Если многочлен неприводим, то группа Галуа транзитивно действует на его корнях. В общем случае группа Галуа поля разложения описывает все алгебраические соотношения между корнями.

Примеры

Пример 1: Квадратный многочлен

Рассмотрим \( f(x) = x^2 + 1 \) над полем вещественных чисел \( \mathbb{R} \). Корни — \( i \) и \( -i \). Поле разложения — \( \mathbb{R}(i) = \mathbb{C} \), степень расширения равна 2. Группа Галуа изоморфна \( \mathbb{Z}_2 \).

Пример 2: Кубический многочлен

Пусть \( f(x) = x^3 - 2 \) над \( \mathbb{Q} \). Корни: \( \sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2} \), где \( \omega = e^{2\pi i/3} \). Поле разложения — \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) \). Степень расширения равна 6 (так как \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3 \), а \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) : \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2 \)). Группа Галуа изоморфна симметрической группе \( S_3 \).

Пример 3: Многочлен с кратными корнями

Если \( f(x) = (x-1)^2 \) над \( \mathbb{Q} \), то поле разложения — само \( \mathbb{Q} \), так как корень \( 1 \) уже лежит в \( \mathbb{Q} \). Степень расширения равна 1. Группа Галуа тривиальна.