Теория Галуа

Теория Галуа — это раздел алгебры, изучающий симметрии корней многочленов и устанавливающий связь между теорией полей и теорией групп. Названа в честь французского математика Эвариста Галуа (1811–1832), который в первой половине XIX века заложил её основы. Теория Галуа позволяет определить, разрешимо ли алгебраическое уравнение в радикалах, и даёт критерий для этого, а также описывает структуру полей разложения многочленов через группы автоморфизмов.

История

Предпосылки

До XIX века математики решали алгебраические уравнения с помощью радикалов — выражений, содержащих корни и арифметические операции. Для уравнений первой, второй, третьей и четвёртой степеней были найдены общие формулы (например, формула корней квадратного уравнения известна с древности, а для кубического и четвёртой степени — в XVI веке). Однако для уравнений пятой степени и выше общая формула в радикалах долгое время не была найдена. В конце XVIII — начале XIX века итальянский математик Паоло Руффини и норвежский математик Нильс Хенрик Абель доказали, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах. Работы Абеля (1824) стали важным шагом, но не дали общего критерия разрешимости для любого уравнения.

Работы Эвариста Галуа

Эварист Галуа, погибший в возрасте 20 лет на дуэли, в 1830–1831 годах создал теорию, которая объяснила, почему одни уравнения разрешимы в радикалах, а другие — нет. Он ввёл понятие группы перестановок корней многочлена (группы Галуа) и показал, что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости соответствующей группы. Галуа также разработал теорию полей и подполей, связав их с подгруппами. Его работы были опубликованы посмертно в 1846 году благодаря усилиям Огюста Шевалье и Жозефа Лиувилля.

Развитие в XIX–XX веках

В конце XIX века теория Галуа была систематизирована и обобщена. Немецкий математик Эмиль Артин в 1920–1930-х годах дал современное изложение теории, основанное на понятии автоморфизмов полей. В XX веке теория Галуа была распространена на дифференциальные уравнения (теория дифференциальной Галуа), на алгебраические кривые и на топологию (теория Галуа накрытий). Она стала фундаментальным инструментом в алгебраической геометрии, теории чисел и алгебраической топологии.

Основные понятия

Поле и расширение поля

Поле — это алгебраическая структура, в которой определены сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Примеры: поле рациональных чисел \(\mathbb{Q}\), поле действительных чисел \(\mathbb{R}\), поле комплексных чисел \(\mathbb{C}\), конечные поля \(\mathbb{F}_p\) (где \(p\) — простое число). Расширение поля — это поле \(K\), содержащее другое поле \(F\) как подполе. Например, \(\mathbb{C}\) является расширением \(\mathbb{R}\), а \(\mathbb{R}\) — расширением \(\mathbb{Q}\).

Многочлен и его корни

Рассматривается многочлен \(f(x)\) с коэффициентами из поля \(F\). Его корни могут лежать в некотором расширении \(K\) поля \(F\). Поле разложения многочлена — это наименьшее расширение \(K\) поля \(F\), в котором многочлен раскладывается на линейные множители. Например, многочлен \(x^2 + 1\) с коэффициентами из \(\mathbb{Q}\) имеет поле разложения \(\mathbb{Q}(i)\) (комплексные числа вида \(a + bi\), где \(a, b \in \mathbb{Q}\)).

Группа Галуа

Группа Галуа расширения полей \(K/F\) (обозначается \(\operatorname{Gal}(K/F)\)) — это множество всех автоморфизмов поля \(K\), которые оставляют неподвижными все элементы поля \(F\). Автоморфизм — это биективное отображение поля на себя, сохраняющее операции сложения и умножения. Для конечного расширения группа Галуа конечна. Если \(K\) — поле разложения сепарабельного многочлена \(f(x)\) над \(F\), то группа Галуа \(\operatorname{Gal}(K/F)\) называется группой Галуа многочлена \(f(x)\). Она действует на корни многочлена как перестановки.

Основная теорема теории Галуа

Основная теорема устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами группы Галуа \(\operatorname{Gal}(K/F)\) и промежуточными полями между \(F\) и \(K\). А именно:

• Каждому промежуточному полю \(L\) (где \(F \subseteq L \subseteq K\)) соответствует подгруппа \(\operatorname{Gal}(K/L)\) — автоморфизмы, оставляющие неподвижными элементы \(L\).
• Каждой подгруппе \(H\) группы \(\operatorname{Gal}(K/F)\) соответствует поле неподвижных точек \(K^H\) — множество элементов \(K\), которые остаются неизменными под действием всех автоморфизмов из \(H\).

Это соответствие является антиизоморфизмом: большей подгруппе соответствует меньшее поле, и наоборот. Кроме того, расширение \(L/F\) является нормальным (то есть полем разложения некоторого многочлена) тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа \(\operatorname{Gal}(K/L)\) является нормальной подгруппой в \(\operatorname{Gal}(K/F)\).

Разрешимость уравнений в радикалах

Критерий Галуа

Уравнение \(f(x) = 0\) разрешимо в радикалах над полем \(F\) (то есть его корни можно выразить через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней) тогда и только тогда, когда группа Галуа многочлена \(f(x)\) является разрешимой группой. Разрешимая группа — это группа, которая имеет цепочку подгрупп, каждая из которых является нормальной в предыдущей, а факторгруппы абелевы. Для общего уравнения степени \(n\) группа Галуа является симметрической группой \(S_n\). Группа \(S_n\) разрешима только при \(n \le 4\). При \(n \ge 5\) группа \(S_n\) неразрешима (она содержит простую неабелеву подгруппу \(A_n\)), что объясняет неразрешимость общего уравнения пятой степени и выше.

Примеры

• Уравнение \(x^2 - 2 = 0\) над \(\mathbb{Q}\): группа Галуа состоит из двух элементов (тождественное отображение и отображение, меняющее \(\sqrt{2}\) на \(-\sqrt{2}\)), она абелева, разрешима. Корни выражаются в радикалах: \(\pm \sqrt{2}\).
• Уравнение \(x^3 - 2 = 0\) над \(\mathbb{Q}\): поле разложения — \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\), где \(\omega\) — кубический корень из единицы. Группа Галуа изоморфна \(S_3\), которая разрешима (её подгруппа \(A_3\) — циклическая). Корни выражаются в радикалах.
• Уравнение \(x^5 - x - 1 = 0\) над \(\mathbb{Q}\): его группа Галуа — \(S_5\), неразрешима, поэтому корни не выражаются в радикалах (хотя могут быть выражены через эллиптические функции).

Классификация расширений полей

Конечные расширения

Расширение \(K/F\) называется конечным, если \(K\) является конечномерным векторным пространством над \(F\). Размерность называется степенью расширения \([K:F]\). Теория Галуа изучает конечные расширения, которые являются нормальными и сепарабельными (так называемые расширения Галуа). Для таких расширений группа Галуа имеет порядок, равный степени расширения: \(|\operatorname{Gal}(K/F)| = [K:F]\).

Сепарабельные и несепарабельные расширения

Расширение называется сепарабельным, если каждый элемент поля \(K\) является корнем сепарабельного многочлена (не имеющего кратных корней) над \(F\). В характеристике 0 все расширения сепарабельны. В конечных полях и полях положительной характеристики могут возникать несепарабельные расширения, которые не являются расширениями Галуа в классическом смысле. Для них применяется теория Галуа для несепарабельных расширений (теория Галуа Жакоба).

Нормальные расширения

Расширение \(K/F\) называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен над \(F\), имеющий хотя бы один корень в \(K\), разлагается на линейные множители в \(K\). Поле разложения многочлена всегда является нормальным расширением. Нормальные расширения соответствуют нормальным подгруппам группы Галуа.

Применения

Классические задачи

• Невозможность трисекции угла и удвоения куба: с помощью теории Галуа доказывается, что эти задачи неразрешимы с помощью циркуля и линейки, так как они сводятся к построению корней кубических уравнений, не имеющих рациональных корней, и соответствующие расширения полей имеют степень 3, что не является степенью двойки.
• Построение правильных многоугольников: Гаусс доказал, что правильный \(n\)-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда \(n\) — произведение степени двойки и различных простых чисел Ферма. Теория Галуа даёт этому объяснение через группы Галуа круговых полей.

Теория чисел

• Теория полей классов: изучает абелевы расширения числовых полей и их группы Галуа. Она является обобщением теории Галуа для бесконечных расширений и использует идеи Галуа для описания законов взаимности.
• Гипотеза Тангиямы — Шимуры — Вейля: доказана Эндрю Уайлсом в 1994 году для эллиптических кривых, что привело к доказательству Великой теоремы Ферма. В основе лежит соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными формами, которое формулируется в терминах групп Галуа.

Алгебраическая геометрия

• Фундаментальная группа алгебраического многообразия: обобщение группы Галуа на случай накрытий алгебраических кривых. Теория Галуа для накрытий (теория Галуа Гротендика) связывает топологические и алгебраические свойства.
• Когомологии Галуа: используются для изучения рациональных точек на алгебраических многообразиях, в частности, в гипотезе Бёрча и Суиннертон-Дайера.

Дифференциальные уравнения

• Теория дифференциальной Галуа: изучает симметрии решений линейных дифференциальных уравнений. Она позволяет определить, выражается ли решение в квадратурах (интегралах и алгебраических функциях). Аналогом группы Галуа выступает группа Пикара — Вессио.

Интересные факты

• Эварист Галуа написал основные результаты своей теории в ночь перед дуэлью, в письме к другу Огюсту Шевалье. Эти записи были опубликованы только через 14 лет после его смерти.
• Теория Галуа является одним из первых примеров использования теории групп для решения задач, не связанных напрямую с симметрией.
• В 2020 году российский математик Е. С. Голод и другие исследователи применили теорию Галуа для анализа криптографических систем, основанных на эллиптических кривых.
• Существует алгоритм вычисления группы Галуа многочлена над полем рациональных чисел, реализованный в системах компьютерной алгебры (например, в Magma, Maple, Mathematica). Для многочленов степени до 7 он эффективен, но для более высоких степеней может быть сложным.

Критика и ограничения

• Теория Галуа не даёт конструктивного способа решения уравнений в радикалах, даже если они разрешимы. Она лишь устанавливает критерий.
• Для многочленов степени выше 4 вычисление группы Галуа может быть трудоёмким, а для некоторых многочленов — невыполнимым вручную.
• Теория Галуа в классическом виде применима только к полям характеристики 0 и к конечным полям, но не ко всем полям положительной характеристики (требуется сепарабельность).
• В современной математике теория Галуа часто рассматривается как часть более общей теории — теории Галуа Гротендика, которая охватывает не только поля, но и схемы.