Правило Борда

Правило Борда (метод Борда, подсчёт по Борда) — это система голосования, используемая для определения коллективного предпочтения на основе ранжирования кандидатов или альтернатив. В отличие от мажоритарной системы, где избиратель отдаёт голос только за одного кандидата, правило Борда предполагает, что каждый избиратель упорядочивает всех кандидатов по степени предпочтения, и за каждое место начисляется определённое количество баллов. Победителем признаётся кандидат, набравший наибольшую сумму баллов. Метод назван в честь французского математика и моряка XVIII века Жана-Шарля де Борда, который предложил его в 1770 году как альтернативу простому большинству.

История

Предпосылки возникновения

В XVIII веке во Франции активно обсуждались недостатки мажоритарной системы голосования, особенно при выборах в научные академии. Критики указывали, что при наличии трёх и более кандидатов победитель может не отражать истинных предпочтений большинства, если голоса распыляются между похожими кандидатами. Жан-Шарль де Борда, член Французской академии наук, в 1770 году представил доклад «Мемуар о выборах путём голосования», в котором впервые формализовал систему ранжированного подсчёта.

Внедрение и критика

Правило Борда было принято для выборов во Французскую академию наук в 1784 году, однако уже в 1800 году его отменили по инициативе Наполеона Бонапарта, который предпочёл более простую систему. В XIX веке метод получил распространение в ряде европейских стран, но столкнулся с критикой со стороны математика маркиза де Кондорсе, который показал, что правило Борда может нарушать принцип транзитивности коллективных предпочтений (парадокс Кондорсе). Тем не менее, метод продолжал использоваться в некоторых университетах и научных обществах.

Современное применение

В XX—XXI веках правило Борда применяется в различных контекстах: от выборов в парламенты некоторых стран (например, Словения, Науру) до голосований в комитетах и рейтинговых системах (например, в спортивных соревнованиях, таких как «Евровидение»). В России метод не используется на государственных выборах, но встречается в корпоративных и общественных организациях.

Формальное описание

Алгоритм подсчёта

Пусть имеется \( n \) кандидатов и \( m \) избирателей. Каждый избиратель составляет ранжированный список, присваивая кандидатам места от 1 до \( n \) (1 — наилучшее, \( n \) — наихудшее). За первое место начисляется \( n-1 \) баллов, за второе — \( n-2 \), и так далее до последнего места, за которое даётся 0 баллов. Альтернативно может использоваться шкала от \( n \) до 1. Общий балл кандидата равен сумме баллов, полученных от всех избирателей. Победителем объявляется кандидат с максимальной суммой.

Пример

Рассмотрим трёх кандидатов: A, B, C. Пусть 5 избирателей ранжировали их следующим образом:

• 2 избирателя: A > B > C
• 2 избирателя: C > B > A
• 1 избиратель: B > A > C

Подсчёт баллов (за 1-е место — 2 балла, за 2-е — 1, за 3-е — 0):

• A: 2×2 (от первых двух) + 0×2 (от вторых двух) + 1×1 (от последнего) = 4 + 0 + 1 = 5
• B: 1×2 + 1×2 + 2×1 = 2 + 2 + 2 = 6
• C: 0×2 + 2×2 + 0×1 = 0 + 4 + 0 = 4

Победитель — B, хотя при мажоритарной системе (голосование за одного) A и C получили бы по 2 голоса, а B — 1, что привело бы к ничьей или случайному выбору.

Свойства и аксиомы

Преимущества

• Учёт полного ранжирования: В отличие от мажоритарной системы, правило Борда учитывает предпочтения избирателей относительно всех кандидатов, а не только первого.
• Устойчивость к распылению голосов: При наличии нескольких похожих кандидатов их сторонники не «отнимают» голоса друг у друга, так как баллы суммируются по всем позициям.
• Простота подсчёта: Алгоритм легко реализуется как вручную, так и программно.

Недостатки

• Нарушение независимости от посторонних альтернатив: Введение нового кандидата может изменить порядок победителей, даже если он не является реальным претендентом (эффект «спойлера»).
• Уязвимость к стратегическому голосованию: Избиратели могут манипулировать результатом, намеренно занижая рейтинг сильных конкурентов (так называемое «тактическое голосование»).
• Парадокс Кондорсе: В некоторых случаях победитель по Борда может не быть победителем по Кондорсе (кандидатом, который побеждает любого другого в попарном сравнении).

Разновидности

Классическое правило Борда

Используется линейная шкала баллов: за первое место — \( n-1 \), за последнее — 0. Этот вариант наиболее распространён.

Взвешенное правило Борда

Баллы могут назначаться нелинейно, например, по геометрической прогрессии, чтобы усилить влияние первых мест. Однако такая модификация редко применяется на практике.

Система с исключением (метод Нансона)

Разновидность, при которой после подсчёта баллов кандидат с наименьшей суммой исключается, и процедура повторяется для оставшихся. Этот метод сочетает правило Борда с последовательным отсевом.

Система Даудала

Используется в некоторых странах (например, в Науру) для выборов в парламент. Избиратель ранжирует кандидатов, но баллы начисляются по формуле: за первое место — 1, за второе — 1/2, за третье — 1/3 и так далее. Это снижает влияние большого числа кандидатов.

Применение

Политические выборы

• Словения: На выборах в парламент (до 2000 года) использовалась модификация правила Борда для одномандатных округов.
• Науру: С 1971 года применяется система Даудала для выборов в парламент.
• Кирибати: На выборах президента используется правило Борда с двумя турами.

Научные и общественные организации

• Французская академия наук: Исторически применяла метод в XVIII веке.
• Ряд университетов: Используют правило Борда для выбора деканов или членов учёных советов.

Спортивные соревнования

• «Евровидение»: Страны-участницы ранжируют песни, и баллы начисляются по шкале (12, 10, 8, 7, ..., 1), что является частным случаем взвешенного правила Борда.
• Гонки «Формула-1»: Система начисления очков (25, 18, 15, ...) также основана на принципе ранжирования.

Рейтинги и опросы

• Опросы общественного мнения: При ранжировании предпочтений (например, любимые фильмы или книги) часто используется правило Борда для агрегации данных.
• Корпоративные решения: В компаниях метод применяется для выбора проектов или кандидатов на должность при голосовании членов правления.

Критика и альтернативы

Критика

Основные возражения против правила Борда связаны с его уязвимостью к манипуляциям. Избиратели, зная шкалу баллов, могут искусственно занижать рейтинг сильных конкурентов, чтобы ослабить их позиции. Кроме того, метод не гарантирует, что победитель будет удовлетворять критерию большинства (когда более 50% избирателей ставят кандидата на первое место). В некоторых случаях кандидат, которого большинство считает наихудшим, может победить за счёт высоких вторых и третьих мест.

Альтернативы

• Метод Кондорсе: Выбирает кандидата, который побеждает всех остальных в попарных сравнениях, но может не дать результата при цикле предпочтений.
• Метод Шульце: Разновидность метода Кондорсе, используемая в некоторых онлайн-сообществах (например, в Фонде Викимедиа).
• Метод одобрительного голосования: Избиратель может голосовать за нескольких кандидатов, не ранжируя их.
• Метод Кумбса: Избиратели ранжируют кандидатов, но исключается кандидат с наибольшим числом последних мест.

Интересные факты

• Жан-Шарль де Борда был не только математиком, но и морским офицером, участвовавшим в Войне за независимость США. Он также известен разработкой точных методов навигации.
• В 2018 году группа исследователей из Массачусетского технологического института показала, что правило Борда является оптимальным для минимизации вероятности ошибки при агрегации независимых мнений при определённых условиях.
• В некоторых странах (например, в Швейцарии) правило Борда используется для голосования в кантональных парламентах, но с модификациями, учитывающими местные традиции.

Источники

• Борда Ж.-Ш. «Мемуар о выборах путём голосования» (1770).
• Arrow K. J. «Social Choice and Individual Values» (1951).
• Saari D. G. «Basic Geometry of Voting» (1995).
• Emerson P. «Designing an All-Inclusive Democracy» (2007).
• Материалы Французской академии наук (исторические архивы).