Примыкание — вид непрерывного интегрирования¶

Примыкание — это обобщённый вид интеграла Римана, в котором интегрируемая функция может иметь бесконечное разрывов или неограниченность на отрезке интегрирования при условии, что интеграл сходится как предел интегралов по убывающим подотрезкам. Понятие введено в математическом анализе для расширения области применимости определения интеграла за счёт ослабления требований к функции.

¶Определение

Пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[a, b]$ и может иметь разрывы на всей последовательности точек $c_1, c_2, \dots$ (в том числе бесконечной) и/или быть неограниченной вблизи концов отрезка или точек разрыва. Тогда примыкающий интеграл определяется как предел:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{A_\varepsilon} f(x)\,dx,$$

где $A_\varepsilon$ — компактное подмножество отрезка $[a, b]$, удалённое от «опасных» точек не менее чем на $\varepsilon$, и предел существует и одинаков при любом способе выбора $A_\varepsilon$. Если такой предел существует и конечен, говорят, что примыкающий интеграл сходится, а функция $f$ называется примыко-интегрируемой на $[a, b]$.

¶Связь с интегралом Римана

На отрезках, где функция ограничена и имеет конечное число разрывов, примыкающий интеграл совпадает с интегралом Римана. Таким образом, примыкание является обобщением интеграла Римана: всякая интегрируемая по Риману функция примыко-интегрируема, но обратное неверно. Примыкающий интеграл также обобщает несобственные интегралы: интегралы от функций, неограниченных вблизи концов отрезка, являются частным случаем примыкающих интегралов.

¶Критерий сходимости

Для неотрицательной функции $f(x) \ge 0$ примыкающий интеграл сходится тогда и только тогда, когда существует константа $C$, такая что для любого $\varepsilon > 0$ справедливо неравенство

$$\int_{A_\varepsilon} f(x)\,dx \le C,$$

где $A_\varepsilon$ — любое компактное подмножество $[a, b]$, удалённое от разрывов на расстояние не менее $\varepsilon$. Для произвольной функции сходимость примыкающего интеграла эквивалентна сходимости интегралов от положительной и отрицательной частей $f = f^+ - f^-$.

¶Примеры

¶Неограниченная функция

Рассмотрим $f(x) = 1/\sqrt{x}$ на отрезке $[0, 1]$. Функция неограничена вблизи нуля. Интеграл от $\varepsilon$ до 1 равен $2(1 - \sqrt{\varepsilon})$, и при $\varepsilon \to 0$ предел равен 2. Следовательно, примыкающий интеграл сходится и равен 2.

¶Бесконечное число разрывов

Функция $f(x) = \sin(1/x)$ на $[0, 1]$ имеет разрыв в нуля (необходимо задать значение в нуле) и бесконечное число колебаний вблизи нуля, однако она ограничена, поэтому примыкающий интеграл от неё совпадает с интегралом Римана.

¶Расхождение

Функция $f(x) = 1/x$ на $(0, 1]$ не имеет примыкающего интеграла: интеграл от $\varepsilon$ до 1 равен $-\ln \varepsilon$ и неограничен при $\varepsilon \to 0$.

¶Свойства

Примыкающий интеграл обладает аддитивностью по отрезку, линейностью и монотонностью. Для функций, примыко-интегрируемых на $[a, b]$ и $[b, c]$, справедливо соотношение

$$\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx.$$

¶Применение

Понятие примыкания используется в математическом анализе при доказательстве теорем о смене переменной, интегрировании рядов и функций, зависящих от параметра, а также в теории меры и интеграла Лебега, где примыкающий интеграл является частным случаем интеграла Лебега для функций с немерным носителем разрывов.

¶История

Понятие примыкающего интеграла введено в работах итальянского математика Вито Вольтерры (конец XIX века) и развито в трудах итальянской школы анализа (Улиссе Дини, Чезаре Арцела). В русскоязычной литературе термин «примыкание» закрепился в курсах математического анализа, например, в учебниках Н. П. Кузнецова, С. М. Никольского.

Источники:

• Кузнецов Н. П. Курс математического анализа
• Никольский С. М. Курс математического анализа
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа
• Вольтерра В. Теория функций