Признак сходимости Даламбера¶

Признак Даламбера — один из основных признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, позволяющий установить сходимость или расходимость ряда путём исследования поведения отношения последующего члена к предыдущему. Признак назван в честь французского математика, механика и философа Жана Лерона Д’Аламбера (1717–1783), который сформулировал его в 1768 году в работе, посвящённой теории рядов. Метод относится к группе так называемых радикальных признаков сравнения и широко применяется в математическом анализе, поскольку во многих случаях сводит вопрос о сходимости ряда к вычислению простого предела.

¶Формулировка

Пусть дан числовой ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

все члены которого положительны: $a_n > 0$. Рассмотрим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$

Тогда:

• если $L < 1$, ряд сходится;
• если $L > 1$, ряд расходится;
• если $L = 1$, признак не даёт ответа, и требуется применение других методов.

Отдельно рассматривается случай, когда предел не существует, но отношение неограниченно растёт. Если $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \infty$, ряд расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

¶Идея доказательства

Признак опирается на сравнение исследуемого ряда с геометрической прогрессией. Если начиная с некоторого номера $N$ выполняется неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le q < 1$, то члены ряда мажорируются членами убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $q$, что обеспечивает сходимость. Если же $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$, члены ряда не убывают и не могут стремиться к нулю, поэтому ряд расходится по необходимому признаку сходимости.

Таким образом, признак Даламбера фактически устанавливает, ведёт ли себя ряд асимптотически как геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен пределу $L$.

¶Примеры применения

Сходящийся ряд. Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$. Тогда

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0 < 1,$$

следовательно, ряд сходится. Этот результат согласуется с известным разложением числа $e$ в ряд.

Расходящийся ряд. Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}$ имеем

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2} \to \infty > 1,$$

ряд расходится.

Случай неопределённости. Для гармонического ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ отношение равно $\frac{n}{n+1} \to 1$, и признак Даламбера ответа не даёт, хотя ряд расходится. Аналогично для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ предел также равен единице, но ряд сходится. Это демонстрирует ограниченность метода.

¶Связь с признаком Коши

Радикальный признак Коши, основанный на пределе $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$, тесно связан с признаком Даламбера. Известно, что если предел отношения существует и равен $L$, то предел корня $n$-й степени также равен $L$. Обратное утверждение неверно: существуют ряды, для которых признак Коши даёт ответ, а признак Даламбера — нет. Поэтому признак Коши считается более сильным в смысле области применимости, хотя признак Даламбера часто проще в вычислениях, особенно когда члены ряда содержат факториалы.

¶Обобщения

Существует усиленная форма — признак Раабе, применяемый в случае $L = 1$. Он исследует предел

$$R = \lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right),$$

и при $R > 1$ ряд сходится, при $R < 1$ расходится. Дальнейшими обобщениями служат признаки Бертрана, Гаусса и Куммера, образующие иерархию всё более тонких критериев. Признак Даламбера является первым и наиболее простым звеном этой цепочки.

¶Применение в анализе

Признак Даламбера используется при исследовании сходимости степенных рядов для нахождения радиуса сходимости. Для ряда $\sum c_n x^n$ отношение $\left|\frac{c_{n+1} x^{n+1}}{c_n x^n}\right| = |x| \cdot \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$ позволяет найти интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Аналогично признак применяется к рядам с комплексными членами и к функциональным рядам.

В учебной литературе признак Даламбера традиционно входит в базовый курс математического анализа вместе с признаками сравнения, Коши и интегральным признаком Маклорена — Коши. Он изучается в российских вузах в рамках дисциплин «Математический анализ» и «Высшая математика».

¶Ограничения

Главный недостаток признака — нечувствительность в случае $L = 1$. Для рядов, члены которых убывают степенным или логарифмическим образом, метод неприменим, и требуются более тонкие критерии. Кроме того, признак сформулирован для знакоположительных рядов; для знакопеременных рядов он применяется к ряду из абсолютных величин членов, что позволяет установить абсолютную сходимость.

Источники: Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»; Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Основы математического анализа»; Демидович Б. П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу».