Проблема Варинга¶

Проблема Варинга — это классическая задача теории чисел, сформулированная в 1770 году британским математиком Эдвардом Варингом. Она заключается в следующем: для любого натурального числа \( k \geq 2 \) существует такое минимальное целое число \( g(k) \), что любое натуральное число \( N \) можно представить в виде суммы не более чем \( g(k) \) слагаемых, каждое из которых является \( k \)-й степенью неотрицательного целого числа. Иными словами, требуется найти наименьшее количество \( k \)-х степеней, достаточное для представления всех целых чисел. Проблема является одной из центральных в аддитивной теории чисел и тесно связана с гипотезой Гольдбаха и другими задачами о представлении чисел суммами степеней.

¶История

¶Первоначальная формулировка

Эдвард Варинг в своей книге «Meditationes Algebraicae» (1770) высказал предположение, что каждое натуральное число может быть представлено суммой не более чем 9 положительных кубов (третьих степеней), не более чем 19 четвёртых степеней и т. д. Однако он не дал строгого доказательства. В современной терминологии эти утверждения соответствуют гипотезам о значениях \( g(3) = 9 \) и \( g(4) = 19 \). Варинг также предположил, что для любого \( k \) существует конечное \( g(k) \), что и стало сутью проблемы.

¶Развитие в XIX веке

В XIX веке проблема привлекла внимание многих математиков. В 1859 году французский математик Жозеф Лиувилль доказал, что для \( k = 4 \) любое число можно представить суммой не более 53 четвёртых степеней, что было первым шагом к строгому доказательству. В 1909 году немецкий математик Давид Гильберт в своей знаменитой работе «Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl von \( n \)-ten Potenzen» (доказательство представимости целых чисел фиксированным числом \( n \)-х степеней) доказал существование конечного \( g(k) \) для всех \( k \). Это был прорыв, но метод Гильберта не давал конкретных значений \( g(k) \).

¶XX век и современность

В XX веке были найдены точные значения \( g(k) \) для многих малых \( k \). В 1920-х годах Годфри Харолд Харди и Джон Иденсор Литлвуд разработали круговой метод, который позволил получить асимптотические оценки для числа представлений. В 1942 году Юрий Линник доказал, что \( g(3) = 9 \), а в 1986 году Р. Бальсубраманиан и Жан-Марк Дезуйе подтвердили, что \( g(4) = 19 \). Для \( k = 5 \) точное значение \( g(5) = 37 \) было установлено в 1964 году Ченом Цзинжунем. На сегодняшний день точные значения \( g(k) \) известны для \( k \leq 20 \), а для больших \( k \) — лишь асимптотические оценки.

¶Формальное определение

Пусть \( k \geq 2 \) — целое число. Обозначим через \( g(k) \) наименьшее целое число \( s \) такое, что для любого натурального числа \( N \) существует представление: \[ N = x_1^k + x_2^k + \dots + x_s^k, \] где \( x_i \) — неотрицательные целые числа. Проблема Варинга состоит в нахождении точного значения \( g(k) \) для всех \( k \).

¶Известные результаты

¶Точные значения \( g(k) \) для малых \( k \)

Для \( k = 2 \) теорема о четырёх квадратах, доказанная Лагранжем в 1770 году, утверждает, что любое натуральное число представимо суммой четырёх квадратов, что даёт \( g(2) = 4 \). Для \( k = 3 \) значение \( g(3) = 9 \) было доказано Линником с использованием кругового метода и оценок тригонометрических сумм. Для \( k = 4 \) значение \( g(4) = 19 \) было подтверждено после долгих усилий, включая работы Харди, Литлвуда и других.

¶Асимптотические оценки

Для больших \( k \) точное значение \( g(k) \) неизвестно, но существуют оценки. В 1920 году Харди и Литлвуд показали, что: \[ g(k) \leq (2k - 1) \cdot 2^k + 1, \] а затем улучшили оценку до \( g(k) \leq 2^k + O(k^2) \). В 1957 году И. М. Виноградов доказал, что: \[ g(k) \leq 2^k \left( \frac{3}{2} \log k + O(1) \right), \] что является одной из лучших известных верхних границ. Нижняя граница тривиальна: \( g(k) \geq 2^k + \lfloor (3/2)^k \rfloor - 2 \), что следует из рассмотрения чисел вида \( 2^k \cdot m - 1 \).

¶Связанные понятия

¶Функция \( G(k) \)

В проблеме Варинга также рассматривается функция \( G(k) \) — наименьшее число \( s \), такое что все достаточно большие натуральные числа представимы суммой \( s \) \( k \)-х степеней. В отличие от \( g(k) \), которое учитывает все числа, \( G(k) \) игнорирует конечное множество исключений. Например, \( G(2) = 4 \) (по теореме о четырёх квадратах), но для \( k = 3 \) известно, что \( G(3) \leq 7 \), а точное значение неизвестно. Для \( k = 4 \) \( G(4) = 16 \), что было доказано в 1980-х годах.

¶Проблема Варинга для многочленов

Существует обобщение проблемы Варинга на многочлены: для данного многочлена \( P(x) \) с целыми коэффициентами требуется найти минимальное число \( s \), такое что любое целое число представимо суммой \( s \) значений \( P(x) \) при целых \( x \). Эта задача изучается в рамках аддитивной комбинаторики.

¶Применение

Проблема Варинга имеет значение не только в чистой математике, но и в смежных областях:

• Криптография: методы представления чисел суммами степеней используются в некоторых алгоритмах шифрования и хеширования.
• Теория кодирования: задачи о сумме степеней связаны с построением кодов с исправлением ошибок.
• Компьютерные науки: алгоритмы поиска представлений чисел суммами степеней применяются в задачах оптимизации и численного анализа.

¶Интересные факты

• Эдвард Варинг, будучи членом Лондонского королевского общества, также известен как автор «Медитаций» и один из первых, кто изучал свойства простых чисел.
• В 1909 году Давид Гильберт, доказывая существование \( g(k) \), использовал метод, основанный на алгебраической геометрии и теории инвариантов, что было неожиданным для того времени.
• Для \( k = 1 \) проблема тривиальна: любое число есть сумма не более чем \( N \) единиц, но \( g(1) = 1 \), так как любое число — это одна первая степень (само число).
• В 2019 году группа математиков под руководством Тревора Вули подтвердила, что \( G(3) \leq 7 \), но вопрос о точном значении \( G(3) \) остаётся открытым.

¶Критика и нерешённые вопросы

Несмотря на значительные успехи, проблема Варинга содержит много нерешённых вопросов:

• Точное значение \( g(k) \) для \( k > 20 \) неизвестно. Существующие оценки дают лишь верхние и нижние границы, которые могут расходиться на несколько порядков.
• Функция \( G(k) \) для \( k \geq 3 \) остаётся малоизученной. Например, для \( k = 3 \) известно, что \( 4 \leq G(3) \leq 7 \), но точное значение не найдено.
• Гипотеза о том, что \( g(k) = 2^k + \lfloor (3/2)^k \rfloor - 2 \) для всех \( k \), не доказана, хотя подтверждена для \( k \leq 20 \).

¶Источники

• Э. Варинг, «Meditationes Algebraicae» (1770).
• Д. Гильберт, «Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl von n-ten Potenzen» (1909).
• Г. Х. Харди, Дж. И. Литлвуд, «Some problems of ‘Partitio numerorum’» (1920-1928).
• Ю. В. Линник, «О представлении больших чисел суммами семи кубов» (1942).
• Р. Бальсубраманиан, Ж.-М. Дезуйе, «The representation of integers as sums of fourth powers» (1986).
• И. М. Виноградов, «Метод тригонометрических сумм в теории чисел» (1957).
• Чен Цзинжунь, «On the representation of integers as sums of fifth powers» (1964).