Жозеф Лиувилль

Жозеф Лиувилль — французский математик, родившийся 24 марта 1809 года в Сент-Омере (Франция) и умерший 8 сентября 1882 года в Париже. Он внёс значительный вклад в различные области математики, включая теорию чисел, математический анализ, дифференциальные уравнения и геометрию. Лиувилль известен как основатель теории эллиптических функций, создатель первого доказательства существования трансцендентных чисел, а также как редактор и издатель одного из ведущих математических журналов XIX века. Его имя носит ряд математических понятий, таких как интеграл Лиувилля, теорема Лиувилля в комплексном анализе и формула Лиувилля — Остроградского.

Биография

Ранние годы и образование

Жозеф Лиувилль родился в семье военного. Его отец, капитан наполеоновской армии, погиб в 1814 году, оставив семью в стеснённых обстоятельствах. После окончания коллежа в Тулоне Лиувилль поступил в Политехническую школу в Париже (1827), где учился под руководством таких математиков, как Симеон Дени Пуассон и Огюстен Луи Коши. В 1830 году он окончил школу с отличием и продолжил обучение в Школе мостов и дорог, но вскоре оставил инженерную карьеру ради математики.

Академическая карьера

В 1833 году Лиувилль начал преподавать в Политехнической школе, а с 1838 года занял кафедру математики в Коллеж де Франс. В 1850 году он был избран членом Парижской академии наук, а в 1857 году — профессором механики на факультете наук Парижского университета (Сорбонна). Лиувилль активно участвовал в научной жизни Франции, редактируя с 1836 года журнал Journal de mathématiques pures et appliquées (известный как «Журнал Лиувилля»), который стал одним из ведущих математических изданий Европы.

Личная жизнь и последние годы

Лиувилль был женат, имел нескольких детей. Его сын, Эрнест Лиувилль, также стал математиком, но не достиг такой известности, как отец. В последние годы жизни Лиувилль занимался преимущественно педагогической и редакторской деятельностью. Он скончался в Париже в 1882 году.

Научные достижения

Теория чисел

Лиувилль внёс фундаментальный вклад в теорию чисел. В 1844 году он впервые доказал существование трансцендентных чисел (чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами). До этого существование таких чисел было лишь гипотетическим. Лиувилль построил конкретный пример — число Лиувилля, которое представляет собой бесконечную десятичную дробь с единицами в позициях, соответствующих факториалам (например, 0,110001000000000000000001...). Его доказательство основывалось на том, что алгебраические числа не могут быть слишком хорошо аппроксимированы рациональными дробями. Этот результат положил начало теории диофантовых приближений.

Эллиптические функции

Лиувилль считается одним из создателей теории эллиптических функций (наряду с Нильсом Хенриком Абелем и Карлом Густавом Якобом Якоби). Он разработал общую теорию двойной периодичности функций комплексного переменного, ввёл понятие эллиптического интеграла и доказал, что эллиптические функции являются мероморфными функциями с двумя периодами. Его работы в этой области заложили основы для дальнейшего развития комплексного анализа.

Математический анализ

В области математического анализа Лиувилль известен несколькими важными результатами:

• Теорема Лиувилля (в комплексном анализе): любая ограниченная целая функция (аналитическая на всей комплексной плоскости) является константой. Эта теорема является ключевым результатом в теории функций комплексного переменного и используется, например, при доказательстве основной теоремы алгебры.
• Формула Лиувилля — Остроградского: формула для вычисления вронскиана решений линейного дифференциального уравнения, позволяющая выразить его через коэффициенты уравнения.
• Интеграл Лиувилля: метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью подстановок, связанных с дробным интегрированием.

Дифференциальные уравнения

Лиувилль работал над теорией дифференциальных уравнений, в частности, над краевыми задачами и задачами Штурма — Лиувилля (совместно с Жаком Шарлем Франсуа Штурмом). Теория Штурма — Лиувилля изучает спектральные свойства линейных дифференциальных операторов второго порядка и находит применение в квантовой механике, акустике и других областях физики.

Геометрия и механика

Лиувилль также внёс вклад в геометрию и механику. Он изучал конформные отображения, доказал теорему о том, что любое конформное отображение в трёхмерном пространстве является преобразованием подобия (теорема Лиувилля о конформных отображениях). В механике он занимался теорией интегрируемости гамильтоновых систем, введя понятие интеграла Лиувилля для систем с сохраняющейся энергией.

Основные понятия, названные в честь Лиувилля

• Число Лиувилля — трансцендентное число, построенное по определённому правилу.
• Теорема Лиувилля (в комплексном анализе) — об ограниченных целых функциях.
• Теорема Лиувилля (в конформной геометрии) — о конформных отображениях в пространствах размерности больше двух.
• Формула Лиувилля — Остроградского — для вронскиана.
• Задача Штурма — Лиувилля — краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка.
• Интеграл Лиувилля — метод интегрирования.
• Журнал Лиувилля (Journal de mathématiques pures et appliquées) — математический журнал, основанный Лиувиллем.

Наследие и влияние

Работы Лиувилля оказали глубокое влияние на развитие математики XIX века. Его доказательство существования трансцендентных чисел стало важным шагом в понимании природы чисел и стимулировало дальнейшие исследования в теории чисел и теории приближений. Теория эллиптических функций, разработанная Лиувиллем, нашла применение в механике, астрономии и физике. Теорема Лиувилля в комплексном анализе является одним из фундаментальных результатов, изучаемых в курсах математического анализа. Журнал, основанный Лиувиллем, продолжает издаваться до сих пор и остаётся одним из авторитетных математических изданий. Лиувилль также известен как педагог и популяризатор математики, воспитавший несколько поколений французских математиков.

Источники

• Жозеф Лиувилль. // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. — М.: Наука, 1981.
• Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963.
• Стиллвелл Д. Математика и её история. — М.: Институт компьютерных исследований, 2004.
• Статьи в Journal de mathématiques pures et appliquées (1836–1882).