Пропорция: составление и решение¶

Пропорция — равенство двух отношений (частных) числовых величин, записываемое в виде a : b = c : d или a/b = c/d. Члены a и d называются крайними, b и c — средними. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних (a · d = b · c). Умение составить пропорцию — ключевой навык при решении задач на пропорциональность в курсе математики начальной и основной школы.

¶Основные понятия

Пропорция записывается двумя способами:

• линейно: a : b = c : d;
• дробным: a/b = c/d.

Числа, образующие пропорцию, называются её членами. Крайние члены — первое и последнее (a, d), средние — два внутренних (b, c). Если a·d = b·c, то четыре числа образуют пропорцию. Например, 2 : 3 = 4 : 6, поскольку 2 · 6 = 3 · 4 = 12.

Из основного свойства пропорции вытекают три свойства, применяемые при решении уравнений:

1. Средний член равен отношению произведения крайних к третьему члену: b = a·c/d.
2. Крайний член равен отношению произведения средних к четвёртому: a = b·c/d.
3. Члены можно менять местами попарно: a : c = b : d — пропорция остаётся верной.

¶Составление пропорции из условия задачи

Чтобы составить пропорцию, нужно:

1. Определить величины, которые связаны отношением (например, «километров в час», «рублей за килограмм», «см на 1 кг»).
2. Записать два отношения так, чтобы единицы измерения совпадали попарно.
3. Проверить согласованность: если a измеряется в единицах X, а b — в Y, то и c должен быть в X, а d — в Y.

Типичная ошибка — составить пропорцию вида a : b = d : c, где перепутаны средний и крайний члены. Проверка единиц измерения помогает избежать ошибки: если слева «км/ч», справа должно быть «км/ч», а не «ч/км».

¶Пример 1: прямая пропорциональность

Задача: «5 кг яблок стоят 400 рублей. Сколько стоят 8 кг?»

Обозначим неизвестную цену за x. Отношение «цена : масса» одинаково для обеих закупок:

400 : 5 = x : 8

Решение через основное свойство: 5x = 400 · 8, откуда x = 3200 / 5 = 640 рублей.

¶Пример 2: обратная пропорциональность

Задача: «6 рабочих выполняют работу за 10 дней. За сколько дней справятся 15 рабочих?»

При обратной пропорциональности больше рабочих — меньше дней, поэтому пропорцию составляют с обращением одного из отношений:

6 : 15 = x : 10

Здесь 15x = 60, x = 4 дня. Эквивалентный приём: записать 6 · 10 = 15 · x напрямую, минуя промежуточную запись.

¶Пример 3: задача на три величины

Задача: «На 3 ткани шириной 1,2 м шьют 12 платьев. Сколько платьев сшьют из 5 ткани шириной 0,8 м?»

Здесь соотношение площади ткани (ширина × длина) к количеству платьев постоянно. Отношение ширин: 1,2 : 0,8 = 3/2. Отношение длин ткани: 3 : 5. Итоговое отношение количеств: 12 · (3/2) · (1/5) = 3,6 платья — в школьных задачах обычно подбирают числа так, чтобы ответ был целым.

¶Решение пропорции

Если известно три члена пропорции a : b = c : d, четвёртый находится через основное свойство:

• неизвестный крайний: x = b·c / a (если x = d) или x = b·c / d (если x = a);
• неизвестный средний: x = a·d / b или x = a·d / c.

Проверка: подставить найденное число и убедиться, что произведения крайних и средних совпадают.

¶Типовые ошибки

• Перепутаны крайние и средние члены при составлении пропорции.
• Смешаны величины с разными единицами измерения (например, минуты и часы).
• При обратной пропорциональности составлена прямая (и наоборот).
• Деление на ноль: члены пропорции не могут быть нулями.

¶Применение

Пропорции используются при расчёте масштабов карт и чертежей, разбавлении растворов, пересчёте валют по курсу, определении скорости, времени и расстояния, в задачах на проценты и доли. В физике пропорциональность лежит в основе многих законов: закон Ома, закон всемирного тяготения, закон Гей-Люссака.

¶Историческая справка

Понятие пропорции восходит к «Началам» Евклида (около 300 года до н. э.), где книга V посвящена теории пропорций (теорема Евдокса). В России термин «пропорция» вошёл в школьный курс в XVIII веке вместе с переводами европейских учебников; в советской математике задачи на составление пропорции традиционно включались в программу 5–6 классов.

Источники:

• Колягин Г. Б. «Математика 5–6 класс» (учебник для школ с углублённым изучением математики).
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 5 класс».
• Евклид. «Начала», книга V.
• Справочник по элементарной математике под ред. И. Я. Бакштана.