Пропорция: вычисление и применение¶
Пропорция — это равенство двух отношений, записываемое в виде a : b = c : d или a/b = c/d, где a, b, c, d — пропорциональные величины. Элементы a и d называются крайними членами пропорции, а b и c — средними. Главное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних (a·d = b·c). На этом свойстве основываются все стандартные способы вычисления неизвестного элемента.
¶Основные правила вычисления
¶Нахождение крайнего члена
Если неизвестен один из крайних членов, например x, пропорция записывается как x : b = c : d. Умножив крайние члены и приравняв их к произведению средних, получаем:
x = (b · c) / d
¶Нахождение среднего члена
Если неизвестен средний член, например x : b = c : d, где x — средний член, формула принимает вид:
x = (b · c) / a
Общий принцип: неизвестный элемент равен произведению тех двух элементов, которые стоят с ним на диагонали, делённому на третий элемент.
¶Поиск четвёртого пропорционального
Задача «найти четвёртое пропорциональное к числам a, b, c» означает составить пропорцию a : b = c : x и найти x. Решение:
x = (b · c) / a
Пример: найти четвёртое пропорциональное к числам 3, 5 и 7.
x = (5 · 7) / 3 = 35/3 ≈ 11,67
¶Поиск третьего пропорционального
Задача «найти третье пропорциональное к числам a и b» означает пропорцию вида a : b = b : x, где b является и вторым, и третьим членом. Отсюда:
x = b² / a
Пример: найти третье пропорциональное к 2 и 6.
x = 6² / 2 = 36/2 = 18
¶Пропорциональные и обратно пропорциональные величины
При решении задач важно различать два типа зависимости между величинами.
Прямая пропорциональность. Если при увеличении одной величины в n раз другая увеличивается в n раз, величины прямо пропорциональны: y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. Пример: стоимость товара прямо пропорциональна его количеству при неизменной цене.
Обратная пропорциональность. Если при увеличении одной величины в n раз другая уменьшается в n раз, величины обратно пропорциональны: y = k/x или xy = k. Пример: время, необходимое для выполнения работы, обратно пропорционально производительности труда.
При решении задач на пропорциональность составляется пропорция из известных и неизвестных величин, после чего применяется правило крайних членов.
¶Практические примеры
¶Масштабирование
Карта с масштабом 1 : 100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см (1 км) на местности. Если расстояние между двумя точками на карте составляет 4,5 см, реальное расстояние равно:
x = (1 · 4,5 км) / 0,00001 см — проще решать пропорцию напрямую: 1 см : 1 км = 4,5 см : x км, откуда x = 4,5 км.
¶Рецептура и смеси
Если для приготовления порции на 4 человек требуется 300 г крупы, сколько крупы нужно на 10 человек? Составляется пропорция 4 : 300 = 10 : x, откуда x = (300 · 10) / 4 = 750 г.
¶Процентные задачи
Для нахождения p% от числа A используется формула, выведенная из пропорции: part = (A · p) / 100. Например, 18% от 250 равняется (250 · 18) / 100 = 45.
¶Проверка пропорции
Чтобы убедиться, что четыре числа образуют пропорцию, достаточно перемножить крайние и средние члены. Если a·d = b·c, пропорция верна. Например, числа 2, 8, 3 и 12 образуют пропорцию, поскольку 2 · 12 = 24 и 8 · 3 = 24.
¶Историческая справка
Исследование пропорций восходит к античной математике. Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) посвятил пропорциям пятую книгу, где изложил теорию величин. В средневековой Европе пропорции использовались в арифметике для решения торговых задач. В XVI–XVII веках понятие пропорции легло в основу учения о подобии геометрических фигур и теории графиков.
¶Источники
- Колягин Г. Б. «Алгебра. 7 класс»
- Макарычев Н. Я., Миндюк Н. Г. «Алгебра. 7–9 классы»
- Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
- Википедия: «Пропорция (математика)»