Проценты: понятие, расчёт и применение¶

Процент (от лат. per centum — «на сто») — сотая часть числа или величины, обозначаемая знаком %. Проценты используются для выражения долей, относительных изменений, ставок и пропорций в математике, экономике, статистике и повседневной жизни. Запись «15 00 %» (или «15 %») означает пятнадцать сотых, то есть долю, равную 0,15.

¶Основные понятия

Процент является безразмерной единицей измерения. Одна сотая часть целого обозначается как 1 % и равна 0,01 в десятичной записи. Соответственно:

Связь между процентами и обычными дробями позволяет переходить от одной формы записи к другой: чтобы перевести проценты в дробь, число делят на 100; чтобы перевести дробь в проценты — умножают на 100.

¶Происхождение термина

Понятие процентов сформировалось в Древней Индии, где в трактатах по математике использовались десятичные дроби. В Европе проценты получили распространение в Средние века вместе с развитием торговых операций и банковского дела. В Италии XIV–XV веков торговцы и ростовщики исчисляли прибыль и проценты на вклады от базовой суммы, принимаемой за 100. Термин per centum закрепился в латинском языке как обозначение «на сотню».

¶Виды процентов

¶Простые проценты

Простые проценты начисляются только на исходную (основную) сумму. Если сумма S увеличивается на p %, новое значение равно:

S × (1 + p / 100)

Например, при увеличении числа 200 на 15 % получаем: 200 × 1,15 = 230.

¶Сложные проценты

При сложных процентах начисление происходит на сумму, которая включает проценты предыдущих периодов. Формула накопления за n периодов:

S × (1 + p / 100)^n

Сложные проценты применяются в банковском деле при капитализации вкладов. Разница между простыми и сложными процентами тем существеннее, чем больше число периодов.

¶Процентная ставка

Процентная ставка — это размер процентов, начисляемых за определённый период (обычно год) на сумму вклада или кредита. Центральные банки, включая Центральный банк Российской Федерации, устанавливают ключевую ставку, которая влияет на стоимость заимствований и доходность вкладов в экономике.

¶Расчёт процента от числа

Чтобы найти p % от числа A, используют формулу:

A × p / 100

Пример: 15 % от 400 равняется 400 × 15 / 100 = 60.

Обратная задача — найти, какому проценту соответствует число B от величины A:

(B / A) × 100 %

Например, число 30 составляет 30 / 200 × 100 % = 15 % от 200.

¶Изменение величины в процентах

Относительное изменение величины вычисляется по формуле:

((новое значение − исходное значение) / исходное значение) × 100 %

Если значение выросло с 80 до 92, прирост составляет (92 − 80) / 80 × 100 % = 15 %.

Важно учитывать, что последовательное увеличение на 15 % и последующее уменьшение на 15 % не возвращают исходное значение: 100 × 1,15 × 0,85 = 97,75. Это связано с тем, что проценты считаются от разных баз.

¶Применение

Проценты применяются в широком спектре областей:

• Финансы — процентные ставки по вкладам и кредитам, инфляция, доходность ценных бумаг.
• Налоги — налоговые ставки НДС, НДФЛ и иных платежей выражаются в процентах.
• Статистика — доли населения, безработица, электоральные показатели.
• Наука и техника — влажность, концентрация растворов, коэффициенты полезного действия.
• Торговля — скидки и наценки.

¶Связанные единицы

Проценту родственны:

• Базисный пункт — одна сотая процента (0,01 %), применяется в финансах для обозначения небольших изменений ставок.
• Промилле (‰) — одна тысячная (0,1 %), используется для обозначения содержания алкоголя в крови, концентрации растворов.
• Доля (ppm, parts per million) — одна миллионная (0,0001 %).

¶История в России

В русском языке слово «процент» закрепилось в XVIII веке вместе с реформами Петра I и развитием торговых отношений с Европой. До этого для обозначения долей использовались дробные записи. В советское время проценты применялись в плановой экономике для выражения выполнения планов, роста производства и иных показателей.

Источники:

• Википедия: Процент
• Википедия: Процентная ставка
• Математический энциклопедический словарь
• Большой энциклопедический словарь