Прямой угол¶

Прямой угол — угол, величина которого равна 90° (π/2 радиан). Обозначается символом ∟ или квадратом, поставленным у вершины угла. Прямой угол является одним из фундаментальных понятий геометрии и служит отправной точкой для определения смежных понятий: острого, тупого, развёрнутого и полного углов.

¶Определение и обозначение

Прямой угол образуется двумя лучами (сторонами угла), исходящими из одной точки (вершины), если направление одного из лучей можно получить поворотом направления другого на четверть полного оборота — то есть на 90°. Полный оборот составляет 360°, поэтому прямой угол составляет ровно одну четвёртую часть полного оборота.

В геометрии прямой угол принято обозначать маленьким квадратиком, нарисованным у вершины между сторонами угла. Это отличает его от дугового обозначения, применяемого для острых и тупых углов. В аналитической геометрии прямой угол между двумя прямыми означает, что эти прямые перпендикулярны, то есть их направляющие векторы ортогональны.

¶Связанные понятия

¶Острый и тупой углы

Углы, меньшие прямого (от 0° до 90°, не включая границы), называются острыми. Углы, большие прямого, но меньше развёрнутого (от 90° до 180°, не включая границы), называются тупыми. Прямой угол служит границей между ними.

¶Смежные углы

Два угла называются смежными, если они имеют общую сторону, а их другие стороны образуют две противоположные полуокружности. Сумма смежных углов равна 180°. Если один из смежных углов прямой, то второй также прямой — это свойство используется при построении перпендикуляров.

¶Вертикальные углы

Вертикальные углы — пары углов, образованных пересекающимися прямыми, лежащие друг против друга. Если один из четырёх углов, образованных пересечением двух прямых, прямой, то все остальные также прямые, а прямые перпендикулярны.

¶Перпендикулярность

Прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными. Понятие перпендикулярности обобщается на пространство: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Плоскости также могут быть перпендикулярны — если угол между ними прямой.

¶Измерение

Для измерения углов используются несколько шкал:

• Градусная мера — прямой угол равен 90°. Шкала восходит к вавилонской системе счисления, основанной на числе 60.
• Радианная мера — прямой угол равен π/2 радиан (около 1,5708 рад). Радианы удобны в математическом анализе, так как производные тригонометрических функций выражаются через них без множителей.
• Градусная мера зенитная (град) — прямой угол равен 100 градам. Эта система, предложенная во Франции в XVIII веке, делит полный оборот на 400 равных частей.

¶Тригонометрия прямого угла

Тригонометрические функции прямого угла имеют особые значения:

Несуществование тангенса при 90° связано с тем, что cos 90° = 0, а тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. Это обстоятельство важно при решении тригонометрических уравнений и при построении графиков.

¶Построение

Прямой угол можно построить с помощью:

• Транспортира — самого распространённого инструмента для измерения и построения углов в школьной геометрии.
• Линейки и циркуля — метод, восходящий к «Началам» Евклида: из точки на прямой проводится дуга, затем из точек пересечения дуги с прямой выстраиваются равные отрезки, определяющие вертикальную точку.
• Скользящего угольника — инструмента плотника, образующего ровно 90° и 45°.

¶Применение

Прямой угол встречается в самых разных областях:

• Строительство и архитектура — выдержанность прямых углов при кладке стен, установке дверных и оконных рам является обязательным условием качества конструкции. Для контроля используются угольники, отвесы и лазерные уровни.
• Техническое черчение — прямые углы составляют основу ортогональной проекции, в которой объект представляется видами спереди, сверху и сбоку.
• Картография — прямые углы лежат в основе прямоугольных систем координат, включая географические системы проекций.
• Физика — закон отражения формулируется через углы, отсчитываемые от нормали, составляющей прямой угол с поверхностью.

¶Историческая справка

Понятие прямого угла восходит к древнеегипетской и вавилонской геометрии. Египетские землемеры («расставляющие верёвки») использовали прямоугольные треугольники с отношением сторон 3:4:5 для воспроизведения прямого угла на местности — этот метод описан в папирусе Ахмеса (около 1650 года до н. э.). Вавилоняне разделяли полный оборот на 360°, что и определило современное значение прямого угла в 90°. В «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.) прямой угол определяется как угол, «меньший двух прямых», — определение, данное через сравнение, а не через числовую меру.

Источники:

• Евклид. Начала, книга I
• Папирус Ахмеса (Папирус Ринда)
• Классические учебники стереометрии и планиметрии (И. Ф. Шарыгин, А. В. Погорелов)