Радиус — понятие геометрии и анализа¶
Радиус — это расстояние от центра окружности (сферы, круга) до любой точки её границы; одновременно величина, характеризующая размер соответствующего геометрического тела. Термин происходит от латинского radius — «спица, луч». В широком смысле радиус — половина диаметра, а в метрических пространствах — характеристика множества точек, определяющая его «толщину» или «охват».
¶Определение и основные свойства
В евклидовой геометрии окружность радиуса $R$ — это множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки $O$ (центра) на расстояние $R$. Основные связи:
- Диаметр $D = 2R$.
- Длина окружности $L = 2\pi R$.
- Площадь круга $S = \pi R^2$.
Радиус — величина положительная; при $R \to 0$ окружность вырождается в точку, при $R \to \infty$ — «расползается» на бесконечность. Для сферы радиус $R$ — расстояние от центра до любой точки поверхности; объём шара равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
¶Радиус в аналитической геометрии
Для окружности с центром в точке $(a, b)$ аналитическое уравнение имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Для окружности, проходящей через три неколлинеарные точки, радиус вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны образованного треугольника, $S$ — его площадь. Частный случай: радиус описанной окружности треугольника $R = \frac{abc}{4S}$, вписанной — $r = \frac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
¶Радиус в физике и технике
В физике радиус используется как характеристика объектов и полей:
- Атомный радиус — среднее расстояние от ядра атома до внешнего электронного слоя; порядка $10^{-10}$ м.
- Радиус кривизны — величина, описывающая, насколько сильно кривая или поверхность отклоняется от прямой или плоскости; для окружности равен $R$.
- Радиус орбиты — расстояние от центра вращения до тела; в кеплеровских орбитах меняется по эллипсу от перигелия до афелия.
- Радиус действия — максимальное расстояние, на которое объект может переместиться или оказать воздействие (радиус действия транспортного средства, радиус связи радиостанции).
В технике радиус кривизны и радиус шкива, вала, колеса — ключевой конструктивный параметр, определяющий передаточное отношение, износ и допустимые нагрузки.
¶Радиус в математическом анализе и топологии
В математическом анализе понятие радиуса обобщается:
- Радиус сходимости степенного ряда $R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$ — величина, определяющая интервал (область), на которой ряд сходится.
- Радиус выпуклости — радиус наибольшей вписанной шаровой области.
- Радиус связности метрического пространства — минимальное $r$, при котором любой шар радиуса $r$ покрывает всё пространство.
В теории метрических пространств шар $B(x, r) = \{ y : d(x, y) < r \}$ — множество точек, удалённых от центра $x$ менее чем на $r$; здесь $r$ играет роль радиуса.
¶Радиус в астрономии
Астрономические радиусы выражают в солнечных ($R_\odot \approx 696{,}000$ км) или земных ($R_\oplus \approx 6371$ км) радиусах. Радиус планеты измеряется по её видимому диску и параллаксу; для газовых гигантов радиус слабо зависит от массы, а для белых карликов радиус сопоставим с земным при массе, близкой к солнечной.
¶Радиус в повседневной жизни
Понятие радиуса применяется при определении зон обслуживания (радиус покрытия сети), зон эвакуации, границ охранных территорий, в навигации (радиус пеленга), в спортивных правила (радиус штрафной, радиус вбрасывания). В городском планировании «радиус пешеходной доступности» — расстояние, преодолеваемое пешеходом за 5–15 минут.
¶Историческая справка
Понятие окружности и её радиуса известно с античности: оно фигурирует в «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.), где радиус используется при построении окружности циркулем. Формула площади круга через радиус приписывается древнегреческим математикам; точное значение $\pi$ уточнялось Аристархом, Архимедом, Цзю Чжи и многими другими учёными.
¶Источники
- Евклид. Начала.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
- Понятовский В. А., Савельев Л. А. Справочник по элементарной геометрии.
- Феодосьев В. И. Сопротивление материалов.
- Большая математическая энциклопедия.