Распределение Эрланга

Распределение Эрланга — это непрерывное распределение вероятностей, являющееся частным случаем гамма-распределения, в котором параметр формы принимает только целые положительные значения. Оно описывает время ожидания наступления k-го события в простейшем потоке событий (пуассоновском процессе) с заданной интенсивностью. Распределение названо в честь датского математика и инженера Агнера Крарупа Эрланга, который впервые применил его для анализа телефонного трафика в начале XX века.

Определение и параметры

Распределение Эрланга задаётся двумя параметрами:

• Параметр формы \( k \) (целое положительное число, \( k \in \mathbb{N} \)) — количество событий, время ожидания которых моделируется. В контексте гамма-распределения этот параметр соответствует числу «этапов» или «фаз».
• Параметр масштаба \( \lambda \) (положительное действительное число, \( \lambda > 0 \)) — интенсивность потока событий (среднее число событий в единицу времени). Альтернативно используется параметр \( \mu = 1/\lambda \), называемый средним временем между событиями.

Функция плотности вероятности (PDF) для распределения Эрланга имеет вид:

\[ f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!}, \quad x \geq 0, \]

где \( x \) — случайная величина (время ожидания), \( e \) — основание натурального логарифма, \( (k-1)! \) — факториал.

Функция распределения (CDF) выражается через неполную гамма-функцию:

\[ F(x; k, \lambda) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!} = 1 - e^{-\lambda x} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{(\lambda x)^i}{i!}. \]

Свойства

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Эрланга, равно:

\[ E[X] = \frac{k}{\lambda}. \]

Дисперсия:

\[ Var[X] = \frac{k}{\lambda^2}. \]

Среднеквадратическое отклонение: \( \sigma = \sqrt{k} / \lambda \).

Моменты и асимметрия

Коэффициент асимметрии (skewness) положителен и равен \( 2 / \sqrt{k} \), что указывает на правостороннюю асимметрию распределения. С ростом \( k \) распределение становится более симметричным, приближаясь к нормальному распределению. Коэффициент эксцесса равен \( 6 / k \).

Связь с другими распределениями

• При \( k = 1 \) распределение Эрланга совпадает с экспоненциальным распределением с параметром \( \lambda \).
• При \( k \to \infty \) и фиксированном математическом ожидании распределение Эрланга стремится к нормальному распределению (согласно центральной предельной теореме).
• Распределение Эрланга является частным случаем гамма-распределения, когда параметр формы — целое число. В общем случае гамма-распределение допускает любой положительный действительный параметр формы.
• Сумма \( k \) независимых экспоненциально распределённых случайных величин с одинаковым параметром \( \lambda \) имеет распределение Эрланга с параметрами \( k \) и \( \lambda \).

Производящая функция моментов

Производящая функция моментов (MGF) для распределения Эрланга:

\[ M_X(t) = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right)^k, \quad t < \lambda. \]

История

Распределение было введено датским математиком Агнером Крарупом Эрлангом (1878–1929) в 1909 году в контексте анализа телефонных сетей. Эрланг работал в Копенгагенской телефонной компании и исследовал проблемы загрузки линий связи и вероятности потери вызовов. Он показал, что время между поступлениями вызовов в телефонную сеть подчиняется экспоненциальному распределению, а время ожидания нескольких последовательных вызовов — распределению, названному в его честь. Работа Эрланга заложила основы теории массового обслуживания и теории очередей.

Применение

Теория массового обслуживания

Распределение Эрланга широко используется в моделях систем массового обслуживания (СМО). Оно описывает время обслуживания в многофазных системах, где каждая фаза имеет экспоненциальное время обработки. Например, модель \( M/E_k/1 \) (пуассоновский входной поток, эрланговское время обслуживания с параметром формы \( k \), один сервер) применяется для анализа задержек в сетях передачи данных, на производственных линиях и в логистике.

Телекоммуникации

В телекоммуникациях распределение Эрланга используется для моделирования трафика в телефонных сетях, оценки вероятности блокировки вызовов (формула Эрланга B) и расчёта необходимого числа каналов связи. Формула Эрланга B, основанная на распределении Эрланга, позволяет определить долю потерянных вызовов при заданной нагрузке и числе линий.

Надёжность и страхование

В теории надёжности распределение Эрланга применяется для моделирования времени безотказной работы систем, состоящих из последовательно соединённых элементов с экспоненциальным распределением наработки на отказ. В страховании оно используется для оценки распределения размеров страховых выплат и времени наступления страховых случаев.

Биология и медицина

В биологии распределение Эрланга описывает время между последовательными событиями в клеточных процессах, например, время между делениями клеток или время прохождения стадий клеточного цикла. В медицине оно применяется для анализа продолжительности госпитализации или времени до наступления рецидива заболевания.

Примеры

Пример 1: Время ожидания автобуса

Предположим, что автобусы прибывают на остановку согласно пуассоновскому процессу с интенсивностью 2 автобуса в час (среднее время между прибытиями — 30 минут). Время ожидания второго автобуса (k=2) будет иметь распределение Эрланга с параметрами \( k=2 \) и \( \lambda=2 \). Среднее время ожидания второго автобуса составит \( 2/2 = 1 \) час, а вероятность того, что второй автобус придёт не позднее чем через 30 минут, можно вычислить по функции распределения.

Пример 2: Моделирование времени обработки заявок

В call-центре время обработки одной заявки состоит из трёх последовательных этапов: приём вызова, консультация и оформление заказа. Каждый этап имеет экспоненциальное распределение времени с параметром \( \lambda = 0.5 \) мин⁻¹. Общее время обработки заявки будет иметь распределение Эрланга с \( k=3 \) и \( \lambda=0.5 \). Среднее время обработки составит \( 3/0.5 = 6 \) минут.

Критика и ограничения

Основное ограничение распределения Эрланга — требование целочисленности параметра формы \( k \). В реальных системах время между событиями может не соответствовать строго последовательным экспоненциальным фазам, что снижает точность модели. Кроме того, распределение предполагает независимость и одинаковую интенсивность фаз, что не всегда выполняется на практике. Для более гибкого моделирования используются обобщённые распределения, такие как гамма-распределение (с произвольным положительным параметром формы) или распределение Кокса.

Источники

• Эрланг А. К. «Теория вероятностей и телефонные сообщения» (1909).
• Клейнрок Л. «Теория массового обслуживания» (1975).
• Боровков А. А. «Теория вероятностей» (2009).
• Ширяев А. Н. «Вероятность» (2004).