Решение дифференциальных уравнений¶

Решение дифференциальных уравнений — процесс нахождения функций, удовлетворяющих заданному уравнению, связывающему неизвестную функцию, её аргументы и производные различных порядков. Дифференциальные уравнения являются основным языком описания динамических систем в физике, механике, технике, экономике и биологии, поэтому методы их решения составляют один из центральных разделов математического анализа и вычислительной математики.

¶Общие понятия

Дифференциальным уравнением называют равенство, содержащее производные неизвестной функции. Если функция зависит от одной переменной, уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ); если от нескольких — уравнением в частных производных (УЧП).

Порядком уравнения называют наивысший порядок входящей в него производной. Решением на интервале называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных; частное решение получают, задавая начальные или граничные условия.

Ключевые теоремы существования и единственности (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Пеано) устанавливают условия, при которых задача Коши имеет решение и когда оно единственно.

¶Аналитические методы

Для отдельных классов уравнений решение выражается через элементарные или специальные функции.

• Уравнения с разделяющимися переменными — простейший тип, сводится к интегрированию после разделения переменных.
• Линейные уравнения первого порядка — решаются методом вариации постоянной или с помощью интегрирующего множителя.
• Однородные уравнения — приводятся к разделяющимся заменой переменной.
• Уравнения Бернулли, Риккати, в полных дифференциалах — специальные приёмы подстановок.
• Линейные уравнения с постоянными коэффициентами — решаются через характеристическое уравнение; для неоднородных применяют метод неопределённых коэффициентов или вариацию постоянных.
• Системы линейных уравнений — метод исключения, матричная экспонента, метод собственных значений.

Для уравнений в частных производных применяют метод разделения переменных (Фурье), метод характеристик, преобразования Лапласа и Фурье.

¶Численные методы

Большинство уравнений не имеет решения в элементарных функциях, поэтому используются приближённые методы.

Численные методы лежат в основе инженерных расчётов, прогнозирования и компьютерного моделирования.

¶Применение

Дифференциальные уравнения описывают механическое движение, теплопроводность, диффузию, колебания, электрические цепи, динамику популяций, задачи небесной механики, квантовую механику (уравнение Шрёдингера), гидродинамику (уравнения Навье — Стокса). В России значительный вклад в теорию внесли математики XIX–XX веков: М. В. Остроградский, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, И. Г. Петровский, А. Н. Тихонов, Л. С. Понтрягин.

¶Источники

• Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. «Дифференциальные уравнения»
• Петровский И. Г. «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений»
• Понтрягин Л. С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
• Самарский А. А., Гулин А. В. «Численные методы»