Решётки Браве

Решётки Браве — это математическая классификация всех возможных типов трансляционных решёток, описывающих периодическое расположение атомов, ионов или молекул в кристаллическом твёрдом теле. В трёхмерном пространстве существует ровно 14 решёток Браве, которые различаются формой элементарной ячейки и симметрией узлов. Они служат основой для описания кристаллических структур в кристаллографии, физике твёрдого тела и материаловедении.

История

Концепция решёток Браве была впервые сформулирована французским физиком и кристаллографом Огюстом Браве в 1850 году. До его работы кристаллографы, такие как Рене Жюст Гаюи, описывали кристаллы через внешние формы (грани), но не имели единой системы для внутреннего строения. Браве, основываясь на работах по симметрии и трансляциям, доказал, что в трёхмерном пространстве существует только 14 различных типов решёток, которые могут быть получены комбинацией трёх некомпланарных векторов (трансляций). Его классификация стала фундаментом для дальнейших исследований в области рентгеноструктурного анализа, начатого Максом фон Лауэ и Уильямом Генри Брэггом в начале XX века.

Определение и основные понятия

Решётка Браве — это бесконечная система точек (узлов) в пространстве, которая обладает свойством трансляционной инвариантности: если сдвинуть всю решётку на любой вектор, соединяющий два узла, она совпадёт сама с собой. Формально, решётка Браве задаётся тремя базисными векторами a, b, c, которые не лежат в одной плоскости. Любой узел решётки может быть представлен как:

\[ \mathbf{R} = n_1 \mathbf{a} + n_2 \mathbf{b} + n_3 \mathbf{c}, \]

где \( n_1, n_2, n_3 \) — целые числа. Параллелепипед, построенный на векторах a, b, c, называется элементарной ячейкой (или примитивной ячейкой). В примитивной ячейке содержится ровно один узел решётки (если не учитывать грани и вершины, которые делятся между соседними ячейками).

Классификация решёток Браве

Классификация основана на семи кристаллических сингониях (системах), которые определяются соотношениями между длинами базисных векторов и углами между ними. Для каждой сингонии существует от одной до четырёх решёток Браве, отличающихся типом центрирования (дополнительными узлами внутри ячейки или на её гранях). Всего существует 14 типов.

Семь сингоний

1. Триклинная (a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90°). Только примитивная (P) решётка — узлы только в вершинах ячейки.
2. Моноклинная (a ≠ b ≠ c, α = γ = 90°, β ≠ 90°). Два типа: примитивная (P) и базоцентрированная (C) — с дополнительным узлом в центре грани, перпендикулярной оси b.
3. Ромбическая (орторомбическая) (a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°). Четыре типа: примитивная (P), базоцентрированная (C), объёмноцентрированная (I) — с узлом в центре ячейки, и гранецентрированная (F) — с узлами в центрах всех граней.
4. Тетрагональная (a = b ≠ c, α = β = γ = 90°). Два типа: примитивная (P) и объёмноцентрированная (I).
5. Гексагональная (a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°). Только примитивная (P). Часто выделяют также ромбоэдрическую (тригональную) сингонию, которая может быть описана как гексагональная с особым расположением узлов.
6. Ромбоэдрическая (тригональная) (a = b = c, α = β = γ ≠ 90°). Только примитивная (R) — ячейка в форме ромбоэдра. В некоторых классификациях её относят к гексагональной системе.
7. Кубическая (a = b = c, α = β = γ = 90°). Три типа: примитивная (P), объёмноцентрированная (I) и гранецентрированная (F).

Таблица 14 решёток Браве

Симметрия и решётки Браве

Каждая решётка Браве обладает определённой точечной группой симметрии (набором поворотов, отражений и инверсий), которая совмещает решётку саму с собой. Эти группы соответствуют кристаллическим классам (точечным группам). Например, кубические решётки имеют высокую симметрию (группа Oh), а триклинная — минимальную (группа Ci). Симметрия решётки Браве определяет, какие кристаллические структуры (с учётом базиса — набора атомов в ячейке) могут существовать в данной системе.

Применение в кристаллографии

Решётки Браве являются основой для описания кристаллических структур. В рентгеноструктурном анализе по дифракционной картине определяют тип решётки Браве, а затем уточняют положение атомов (базис). Например, структура NaCl (поваренная соль) описывается кубической гранецентрированной решёткой Браве с базисом из двух атомов (Na и Cl). Структура алмаза — кубическая гранецентрированная решётка с базисом из двух атомов углерода, смещённых на 1/4 вдоль пространственной диагонали.

Связь с пространственными группами

Решётки Браве являются частью более общей классификации — 230 пространственных групп симметрии. Каждая пространственная группа включает в себя одну из 14 решёток Браве и набор дополнительных операций симметрии (винтовые оси, плоскости скольжения). Например, пространственная группа Fm-3m (кубическая гранецентрированная) характерна для многих металлов (Cu, Al, Ni) и ионных кристаллов (NaCl).

Интересные факты

• В двумерном пространстве существует только 5 решёток Браве (также называемых решётками Браве на плоскости): квадратная, прямоугольная, центрированная прямоугольная, гексагональная и косая.
• Решётки Браве не следует путать с кристаллическими решётками как таковыми: последние включают не только трансляционную симметрию, но и расположение атомов (базис) внутри ячейки.
• В 1990-х годах были открыты квазикристаллы, которые не обладают трансляционной периодичностью и, следовательно, не описываются решётками Браве.

Источники

• Браве, О. «Мемуар о системах точек, образующих правильные распределения в пространстве» (1850).
• Китайгородский, А. И. «Кристаллография» (1955).
• Шаскольская, М. П. «Кристаллография» (1984).
• International Tables for Crystallography, Volume A: Space-Group Symmetry (2002).