Пространственная группа

Пространственная группа (также кристаллографическая пространственная группа, группа симметрии кристалла) — это совокупность всех преобразований симметрии трёхмерной периодической структуры (кристалла), которые переводят кристаллическую решётку саму в себя и описывают её атомное строение. Пространственная группа является фундаментальным понятием кристаллографии, физики твёрдого тела и материаловедения, поскольку она определяет симметрию кристаллической решётки, а следовательно, многие физические свойства кристалла, такие как оптические, электрические, механические и тепловые.

История

Изучение симметрии кристаллов началось в XIX веке. В 1830 году немецкий минералог Иоганн Фридрих Кристиан Гессель впервые вывел 32 кристаллографических класса (точечные группы), описывающие симметрию внешних форм кристаллов. Однако для описания внутреннего строения кристаллов требовалось учитывать трансляционную симметрию — периодичность решётки.

В 1891 году российский кристаллограф Евграф Степанович Фёдоров и независимо от него немецкий математик Артур Шёнфлис (в 1891–1892 годах) опубликовали полные выводы пространственных групп. Фёдоров насчитал 230 пространственных групп, а Шёнфлис — 227, но позднее выяснилось, что три группы были пропущены, и общее число оказалось 230. В 1895 году английский кристаллограф Уильям Барлоу также независимо получил те же 230 групп, используя геометрические методы.

В 1935 году Карл Герман и Шарль-Виктор Моген разработали международную систему обозначений пространственных групп, известную как «символы Германа — Могена» (или «международные символы»). Эта система стала стандартом в кристаллографии и используется по сей день.

Определение и структура

Пространственная группа — это бесконечная группа, состоящая из всех изометрий (преобразований, сохраняющих расстояния) трёхмерного евклидова пространства, которые отображают кристаллическую решётку на себя. Она включает в себя:

• Трансляции — сдвиги на векторы решётки.
• Повороты — вращения вокруг осей симметрии.
• Отражения — зеркальные отражения в плоскостях симметрии.
• Инверсии — отражение относительно точки.
• Скользящие отражения — комбинация отражения и трансляции.
• Винтовые повороты — комбинация поворота и трансляции.

Пространственная группа является расширением точечной группы симметрии (которая описывает симметрию без учёта трансляций) с помощью решётки Браве. Она содержит точечную группу как подгруппу, но может включать дополнительные элементы симметрии, связанные с трансляциями.

Классификация

230 пространственных групп

Все пространственные группы делятся на 230 типов, которые различаются набором элементов симметрии и их расположением в пространстве. Они классифицируются по:

• Сингонии (кристаллической системе): триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная, кубическая.
• Точечной группе (классу симметрии): 32 класса.
• Типу решётки Браве: примитивная (P), базоцентрированная (C), объёмноцентрированная (I), гранецентрированная (F), а также ромбоэдрическая (R).

Международные обозначения (символы Германа — Могена)

Символ пространственной группы состоит из буквы, обозначающей тип решётки Браве, и набора символов, описывающих элементы симметрии. Например:

• P2₁/c — примитивная моноклинная решётка, винтовая ось 2₁ (поворот на 180° с трансляцией на половину периода), плоскость скользящего отражения c.
• Fm3̄m — гранецентрированная кубическая решётка, плоскость m, центр инверсии 3̄, плоскость m.

Обозначения по Шёнфлису

В старой литературе используются обозначения по Шёнфлису, например, D₂h¹⁶ — пространственная группа, соответствующая точечной группе D₂h (ромбическая) с номером 16.

Примеры пространственных групп

Простые структуры

• Pm3̄m (№ 221) — пространственная группа простой кубической решётки (например, полоний Po).
• Im3̄m (№ 229) — объёмноцентрированная кубическая решётка (например, α-железо, вольфрам).
• Fm3̄m (№ 225) — гранецентрированная кубическая решётка (например, медь, алюминий, золото).

Сложные структуры

• P6₃/mmc (№ 194) — гексагональная плотноупакованная структура (например, магний, цинк).
• Fd3̄m (№ 227) — структура алмаза (например, углерод, кремний, германий).
• P2₁/c (№ 14) — моноклинная структура, характерная для многих органических кристаллов и минералов (например, гипс CaSO₄·2H₂O).

Применение

Определение структуры кристаллов

Пространственная группа является ключевым элементом при расшифровке кристаллических структур методом рентгеноструктурного анализа, нейтронографии или электронной микроскопии. Зная пространственную группу, можно определить, какие атомные позиции возможны и как они связаны симметрией.

Физические свойства

Симметрия кристалла, описываемая пространственной группой, определяет:

• Пьезоэлектрические свойства — возможны только в кристаллах без центра инверсии.
• Оптические свойства — двулучепреломление, поляризация.
• Тепловые свойства — тепловое расширение, теплопроводность.
• Электрические свойства — сегнетоэлектричество, пироэлектричество.
• Механические свойства — упругость, пластичность.

Кристаллография и материаловедение

Пространственные группы используются для классификации кристаллических структур, поиска новых материалов, прогнозирования их свойств. В базах данных, таких как Международные таблицы по кристаллографии (International Tables for Crystallography), для каждой группы приведены координаты эквивалентных позиций, условия экстинкции (правила погасания рефлексов) и другие данные.

Интересные факты

• Из 230 пространственных групп 13 являются энантиоморфными — они существуют в виде левой и правой форм (например, P3₁21 и P3₂21). Это важно для кристаллов, обладающих оптической активностью.
• Некоторые пространственные группы встречаются в природе крайне редко. Например, группа P4̄3m (№ 215) реализуется в структуре сфалерита (ZnS), но многие группы остаются незаполненными.
• В 2010-х годах было открыто существование магнитных пространственных групп, которые описывают симметрию магнитных структур (антиферромагнетиков, ферримагнетиков). Их число составляет 1651, но они не входят в классические 230.
• Пространственные группы являются основой для описания квазикристаллов, которые не имеют трансляционной симметрии, но обладают другими типами симметрии (например, икосаэдрической).

Критика и ограничения

Понятие пространственной группы применимо только к идеальным бесконечным кристаллам. Реальные кристаллы содержат дефекты (вакансии, дислокации, примеси), которые нарушают симметрию. Тем не менее, пространственная группа остаётся полезной моделью для описания средней симметрии кристалла.

Кроме того, пространственные группы не описывают апериодические структуры (например, квазикристаллы) и неупорядоченные системы (стёкла, жидкости). Для них используются другие подходы, такие как группы суперпространства.

Источники

• International Tables for Crystallography, Volume A: Space-Group Symmetry (6th ed.). Springer, 2016.
• Фёдоров Е. С. Симметрия и структура кристаллов. — М.: Изд-во АН СССР, 1949.
• Шёнфлис А. Кристаллография и теория групп. — М.: Мир, 1970.
• Китайгородский А. И. Теория кристаллических структур. — М.: Наука, 1971.
• West A. R. Solid State Chemistry and Its Applications. — Wiley, 2014.