Резольвента: определение и свойства¶

Резольвента — в математике, прежде всего в алгебре и теории операторов, это вспомогательное уравнение, функция или оператор, решение которых позволяет получить информацию о решении исходной задачи. В зависимости от контекста термин может обозначать резольвенту алгебраического уравнения (многочлен, корни которого выражаются через корни исходного уравнения), резольвенту линейного оператора (функцию комплексного переменного, обратную к оператору минус параметр) или резольвенту дифференциального уравнения (интегральный оператор, обратный к дифференциальному). Общим свойством резольвенты является то, что она сводит сложную задачу к более простой, часто — к решению уравнения меньшей степени или к вычислению собственных значений.

¶История

Понятие резольвенты восходит к работам математиков XVI–XVIII веков, занимавшихся решением алгебраических уравнений в радикалах. В 1545 году Джероламо Кардано в трактате «Ars Magna» привёл решение кубического уравнения, которое по существу использовало резольвенту — вспомогательное квадратное уравнение, корни которого позволяли найти корни кубического. В 1629 году Альбер Жирар систематизировал подходы к решению уравнений четвёртой степени, также сводя их к кубической резольвенте. В XVII–XVIII веках Жозеф Луи Лагранж и Паоло Руффини разработали теорию резольвент для уравнений произвольной степени, пытаясь доказать неразрешимость в радикалах уравнений степени выше четырёх. Однако окончательное решение этого вопроса принадлежит Нильсу Хенрику Абелю (1824) и Эваристу Галуа (1832), которые показали, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, и что резольвента Галуа (группа Галуа) определяет разрешимость уравнения.

В XIX веке понятие резольвенты было перенесено на линейные операторы. В 1880-х годах Ивар Фредгольм и Давид Гильберт разработали теорию интегральных уравнений, где резольвента выступала как ядро интегрального оператора, обратного к данному. В начале XX века Фридрих Рисс и Джон фон Нейман обобщили это понятие на банаховы и гильбертовы пространства, создав спектральную теорию операторов.

¶Резольвента алгебраического уравнения

¶Определение

Пусть дано алгебраическое уравнение степени \(n\): \[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0 \] с коэффициентами из некоторого поля \(K\). Резольвентой этого уравнения называется многочлен \(R(y)\) от новой переменной \(y\), корни которого являются рациональными функциями от корней исходного уравнения. Обычно резольвента строится так, чтобы её степень была меньше \(n\), и чтобы по её корням можно было восстановить корни исходного уравнения.

¶Пример: резольвента кубического уравнения

Для кубического уравнения \(x^3 + px + q = 0\) (приведённая форма) классическая резольвента имеет вид: \[ R(y) = y^2 + q y - \frac{p^3}{27} \] Корни \(y_1, y_2\) этой резольвенты связаны с корнями \(x_1, x_2, x_3\) кубического уравнения формулами: \[ x_k = \sqrt[3]{y_1} + \sqrt[3]{y_2}, \quad k = 1,2,3 \] где кубические корни берутся с учётом условия \(\sqrt[3]{y_1} \cdot \sqrt[3]{y_2} = -p/3\). Таким образом, решение кубического уравнения сводится к решению квадратного уравнения (резольвенты) и извлечению кубических корней.

¶Резольвента Галуа

В теории Галуа резольвентой называют многочлен, корни которого принадлежат некоторому полю разложения, а группа Галуа этого многочлена является подгруппой симметрической группы. Резольвента Галуа для уравнения степени \(n\) — это многочлен степени \(m\), где \(m\) — индекс подгруппы, фиксирующей некоторую функцию от корней. Например, для уравнения пятой степени резольвента Галуа может иметь степень 6 или 10, и её разрешимость в радикалах эквивалентна разрешимости исходного уравнения.

¶Резольвента линейного оператора

¶Определение

Пусть \(A\) — линейный оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве \(X\). Резольвентой оператора \(A\) называется оператор-функция: \[ R(\lambda, A) = (\lambda I - A)^{-1} \] определённая для всех комплексных чисел \(\lambda\), не принадлежащих спектру \(\sigma(A)\) оператора \(A\). Множество таких \(\lambda\) называется резольвентным множеством \(\rho(A)\).

¶Свойства

1. Аналитичность: резольвента \(R(\lambda, A)\) является аналитической функцией \(\lambda\) на резольвентном множестве.
2. Резольвентное тождество: для любых \(\lambda, \mu \in \rho(A)\) выполняется:

\[ R(\lambda, A) - R(\mu, A) = (\mu - \lambda) R(\lambda, A) R(\mu, A) \]

1. Спектральный радиус: радиус сходимости ряда Неймана для резольвенты равен спектральному радиусу \(r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}\).
2. Интегральное представление: резольвента используется в формуле Коши для спектрального разложения:

\[ f(A) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\lambda) R(\lambda, A) \, d\lambda \] где \(\Gamma\) — контур, охватывающий спектр.

¶Резольвента и спектр

Спектр \(\sigma(A)\) состоит из тех \(\lambda\), для которых резольвента не существует (как ограниченный оператор). Для конечномерных операторов (матриц) резольвента является рациональной функцией, полюсы которой совпадают с собственными значениями. В бесконечномерном случае спектр может быть непрерывным, и резольвента имеет особенности на спектре.

¶Резольвента интегрального уравнения

Для интегрального уравнения Фредгольма второго рода: \[ \varphi(x) - \lambda \int_a^b K(x, s) \varphi(s) \, ds = f(x) \] резольвентой называется функция \(\Gamma(x, s; \lambda)\), такая что решение выражается формулой: \[ \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b \Gamma(x, s; \lambda) f(s) \, ds \] Резольвента \(\Gamma\) является ядром интегрального оператора, обратного к \(I - \lambda K\). Она может быть построена как ряд Неймана: \[ \Gamma(x, s; \lambda) = \sum_{n=1}^\infty \lambda^{n-1} K_n(x, s) \] где \(K_n\) — итерированные ядра. Резольвента существует для всех \(\lambda\), не являющихся собственными значениями ядра \(K\).

¶Применения

¶В алгебре

Резольвенты используются для решения уравнений в радикалах, в теории Галуа для определения разрешимости групп, а также в компьютерной алгебре для символьных вычислений (например, в системах Maple, Mathematica). Резольвента Лагранжа применяется при построении круговых многочленов и в теории чисел.

¶В функциональном анализе

Резольвента является основным инструментом спектральной теории. Она позволяет вычислять функции от операторов (например, экспоненту от оператора), исследовать устойчивость решений дифференциальных уравнений, а также в квантовой механике — для вычисления пропагаторов и функций Грина.

¶В дифференциальных уравнениях

Резольвента дифференциального оператора (например, оператора Штурма-Лиувилля) используется для построения функции Грина, которая даёт решение краевой задачи. В теории рассеяния резольвента применяется для анализа асимптотики решений.

¶Критика и ограничения

Понятие резольвенты в алгебре имеет ограниченную применимость: для уравнений степени выше четвёртой общая резольвента не существует в радикалах, что доказано теоремой Абеля-Руффини. В функциональном анализе резольвента может быть неограниченным оператором на спектре, что требует осторожного обращения при численных расчётах. Кроме того, для нелинейных операторов понятие резольвенты не определено в классическом виде.

¶Интересные факты

• Резольвента кубического уравнения была известна ещё в Древнем Вавилоне (около 2000 г. до н. э.) для частных случаев, но общая формула была получена лишь в XVI веке.
• В спектральной теории резольвента позволяет определить спектральную меру оператора через формулу Стоуна:

\[ E(\Delta) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta} R(\lambda, A) \, d\lambda \]

• Термин «резольвента» происходит от латинского resolvere — «развязывать, решать».