Самые большие числа и именованные числовые константы¶
Самая большая числовая констанция — это условное понятие, обозначающее наибольшую из известных математических величин, для которой существует название или обозначение. В математике не существует абсолютной «самой большой цифры»: цифра — это элемент системы счисления (0–9 в десятичной системе), а число не имеет верхней границы. Однако существует ряд именованных чисел, которые на разных этапах развития математики считались крупнейшими описанными величинами.
¶Цифра и число: разграничение понятий
В десятичной системе счисления используется десять цифр — от 0 до 9. Любое число, сколь угодно большое, записывается с помощью этих десяти символов. Поэтому вопрос «какая цифра самая большая» не имеет смысла: все цифры равноправны, а величина числа определяется не отдельной цифрой, а её разрядом.
Наибольшим числом, записываемым одной цифрой, является 9. Наибольшим числом из двух цифр — 99, из трёх — 999 и так далее. Для обозначения произвольно больших чисел используются научная запись (например, 10¹⁰⁰), префиксы и специальные конструкции, такие как тетрация и кнут-уплотнённая запись.
¶Именованные гигантские числа
В математике и популярной науке известно несколько констант, которые исторически претендовали на звание «самых больших»:
| Название | Порядок величины | Происхождение |
|---|---|---|
| Гугол (googol) | 10¹⁰⁰ | Математик Эдвард Каснер, 1938 год |
| Гуголплекс (googolplex) | 10^(10¹⁰⁰) | Эдвард Каснер, 1938 год |
| Скьюз (skewes' number) | ≈10^(10^(10^34)) | Скьюз, 1933 год, задача о распределении простых чисел |
| Грахема число | Огромная величина, не записываемая научной нотацией | Рональд Грахем, 1971 год |
| TREE(3) | Превосходит число Грахема | Теория множеств, Крэйг Фридман, 2006 год |
| Раймондо (Rayo's number) | Наибольшее определяемое число | Агустин Райо, 2013 год |
¶Гугол и гуголплекс
Термин «гугол» ввёл в 1938 году американский математик Эдвард Каснер вместе с племянником Милтоном Сироттой. Гугол равен 10 в степени 100, то есть единице со ста нулями. Название гугола дало имя поисковой компании Google, основанной в 1998 году; изначальный вариант написания — googol.
Гуголплекс — 10 в степени гугола, то есть единица с гуголом нулей. Это число настолько велико, что его невозможно записать даже в пределах наблюдаемой Вселенной, если писать по одной цифре на атом.
¶Число Грахема
Число Грахема — крупнейшая величина, реально возникшая в строгом математическом доказательстве (задача о гиперкубе в теории Рамсея). Оно определяется итеративной процедурой с использованием кнут-уплотнённой записи. Первые цифры числа Грахема известны: оно начинается с 3, а его последние цифры — 7. Между первой и последней цифрой число содержит столько разрядов, что превосходит гуголплекс многократно. В 2014 году число Грахема было занесено в Книгу рекордов Гиннесса как самое большое число, использованное в серьёзном математическом доказательстве.
¶TREE(3) и число Раймондо
TREE(3) возникает в теории множеств и комбинаторике. Оно определяется через функцию TREE, связанную с деревьями, маркированными константами. Значение TREE(3) настолько велико, что число Грахема выглядит на его фоне ничтожным.
Число Раймондо было определено в 2013 году аргентинским математиком Агустином Райо на математической конференции «Big Numbers Duel» в МТИ. Оно строится с использованием первой-ординальной логики и задаётся формулой, в которой используются числа, описываемые определённым формальным языком.
¶Невычислимые и асимптотически большие функции
Помимо конкретных констант, в математике изучаются функции, растущие быстрее любой вычислимой. К ним относятся:
- функция Акермана — пример функции, растущей быстрее любого полинома и экспоненты;
- функция, описанная Гудом — первая функция, не вычислимая в теории вычислимости;
- быстрорастущие иерархии и функции, используемые в доказательстве теоремы Гёделя о неполноте.
Эти объекты не являются «числами» в обычном смысле, но демонстрируют, что математика допускает процессы, порождающие величины, превосходящие любые конкретные константы.
¶Культурное значение
Понятие «самого большого числа» привлекало внимание широкой аудитории. В 2019 году вышел документальный фильм «Самое большое число в мире» (англ. The Biggest Number in the World), посвящённый охоте за крупнейшими именованными числами. В России и других странах проводятся математические олимпиады и конкурсы, в которых участникам предлагается описать как можно более крупную величину, не нарушая строгих определений.
¶Источники
- Каснер Э., Ньюман Дж. «Математика и воображение»
- Кнут Д. «Искусство программирования», том 4
- Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения»
- Статья «Big number» в English Wikipedia
- Книга рекордов Гиннесса, раздел математических рекордов