Открыть сервис
Главная → Блог → Схема Бернулли в теории вероятностей

Схема Бернулли в теории вероятностей

Схема Бернулли — это математическая модель последовательности независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: «успех» с постоянной вероятностью p и «неудача» с вероятностью q = 1 − p. Модель названа в честь швейцарского математика Якоба Бернулли (1654–1705), который описал её в труде «Искусство предположений» (Ars Conjectandi), изданном посмертно в 1713 году. Схема Бернулли лежит в основе биномиального распределения и является одним из базовых понятий теории вероятностей.

Определение и условия

Схемой Бернулли называют выполнение следующих условий:

  • проводится фиксированное число n испытаний;
  • каждое испытание имеет ровно два взаимно исключающих исхода (их условно называют «успех» и «неудача»);
  • вероятность успеха p одинакова для всех испытаний;
  • результаты испытаний независимы друг от друга, то есть исход любого из них не влияет на остальные.

Отдельное испытание с двумя исходами называется испытанием Бернулли. Если все четыре условия выполнены, то число успехов в серии из n испытаний подчиняется биномиальному распределению.

Формула Бернулли

Вероятность того, что в n испытаниях успех наступит ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

P_n(k) = C(n, k) · p^k · q^(n−k),

где C(n, k) — число сочетаний из n по k, равное n! / (k! · (n − k)!), p — вероятность успеха, q = 1 − p — вероятность неудачи.

Множитель p^k задаёт вероятность k успехов, q^(n−k) — вероятность n − k неудач, а C(n, k) учитывает число способов, которыми успехи могут быть распределены среди испытаний.

Примеры применения

Классический пример — многократное подбрасывание монеты. Если монета симметрична, вероятность выпадения орла p = 0,5. Вероятность того, что при 10 бросках орёл выпадет ровно 6 раз, равна C(10, 6) · 0,5^6 · 0,5^4 ≈ 0,205.

Другие примеры:

  • стрельба по мишени с постоянной вероятностью попадания;
  • контроль качества партии изделий, где каждое изделие независимо оказывается бракованным с вероятностью p;
  • опросы с двумя вариантами ответа;
  • задачи генетики, связанные с наследованием признака по схеме «да/нет».

Свойства и характеристики

Для числа успехов X в схеме Бернулли справедливы:

При малых n вероятности удобно считать непосредственно по формуле Бернулли. При больших n применяют приближённые методы.

Приближённые формулы

Когда число испытаний велико, прямой расчёт по формуле Бернулли становится громоздким, поэтому используют предельные теоремы.

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если n велико, а p не слишком близко к 0 или 1, то

P_n(k) ≈ (1 / √(n·p·q)) · φ(x), где x = (k − n·p) / √(n·p·q),

а φ(x) — функция плотности стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Вероятность того, что число успехов заключено между k₁ и k₂, приближённо выражается через функцию Лапласа Φ:

P(k₁ ≤ X ≤ k₂) ≈ Φ(x₂) − Φ(x₁).

Теорема Пуассона. Если n велико, а p мало (так что произведение n·p стремится к постоянной λ), биномиальное распределение приближается распределением Пуассона с параметром λ = n·p. Это применяется к редким событиям.

Связь с другими распределениями

Схема Бернулли порождает ряд важных распределений:

  • биномиальное распределение — число успехов в n испытаниях;
  • распределение Бернулли — частный случай при n = 1;
  • геометрическое распределение — число испытаний до первого успеха;
  • отрицательное биномиальное распределение — число испытаний до k-го успеха;
  • при больших n — нормальное распределение (по теореме Муавра — Лапласа).

Значение и обобщения

Схема Бернулли — простейшая модель повторных независимых испытаний. На ней строится закон больших чисел в форме Бернулли: при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота успеха сходится по вероятности к p. Этот результат стал одним из первых строгих обоснований статистической устойчивости частот.

Обобщения схемы включают испытания с несколькими исходами (полиномиальная схема), зависимые испытания (цепь Маркова), а также случай, когда вероятность успеха меняется от испытания к испытанию (схема Пуассона). В математической статистике схема Бернулли служит основой для оценки неизвестной вероятности p по наблюдённой частоте и для проверки статистических гипотез.

В российской учебной литературе схема Бернулли традиционно излагается в курсах теории вероятностей; значительный вклад в её популяризацию внесли труды А. Н. Колмогорова и Б. В. Гнеденко.

Источники: Гнеденко Б. В. «Курс теории вероятностей»; Вентцель Е. С. «Теория вероятностей»; Колмогоров А. Н. «Основные понятия теории вероятностей»; Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения».

Похожие материалы